Es allí cualquier manera de mostrar que
$$\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}} = \frac{1}{a} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {\frac{1} {{- k}} + \frac{1}{{a + k}}} \right)}=\frac{\pi }{{\sin \pi}}} $$
Donde $0 < a = \dfrac{n+1}{m} < 1$
La serie infinita es igual a
$$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{e^{en}}}}{{{e^t} + 1}}dt} $$
Para llegar al resultado, me separé de la integral en $x=0$ y el uso de la serie convergente en $(0,\infty)$ y $(-\infty,0)$, respectivamente:
$$\frac{1}{{1 + {e^t}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}{e^{ - \left( {k + 1} \right)t}}} $$
$$\frac{1}{{1 + {e^t}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}{e^{kt}}} $$
Desde $0 < a < 1$
$$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{e^{\left( {k + a} \right)t}}}}{{k + a}} - \mathop {\lim }\limits_{t \ - \infty } \frac{{{e^{\left( {k + a} \right)t}}}}{{k + a}} = \frac{1}{{k + a}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{e^{\left( {a - k - 1} \right)t}}}}{{k + a}} - \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{e^{\left( {a - k - 1} \right)t}}}}{{k + a}} = - \frac{1} {{- \left( {k + 1} \right)}} \cr} $$
Un cambio en los índices que se le dará a la serie deseada.
Aunque no me importa de solución directa de las tablas y de otras fuentes, prefiero una elaborada respuesta.
Aquí está la solución en términos de $\psi(x)$. Por la separación de pares e impares índices podemos conseguir
$$\eqalign{ & \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{a + 2k}}} - \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{a + 2k + 1}}} \cr & \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}} {{- k}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{a - 2k}}} - \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{a - 2k - 1}}} \cr} $$
lo que da
$$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} = \frac{1}{2}\psi \left( {\frac {{+1}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {\frac{a}{2}} \right)$$
$$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}} {{- k}}} = \frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac{a}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac {{+1}}{2}} \right) + \frac{1}{a}$$
Entonces
$$\eqalign{ & \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}} {{- k}}} - \frac{1}{a} = \cr & = \left\{ {\frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac{a}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {\frac{a}{2}} \right)} \right\} - \left\{ {\frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac {{+1}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {\frac {{+1}}{2}} \right)} \right\} \cr} $$
Pero el uso de la reflexión de la fórmula uno ha
$$\eqalign{ & \frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac{a}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\cuna \frac{{\pi}}{2} \cr & \frac{1}{2}\psi \left( {1 - \frac {{+1}}{2}} \right) - \frac{1}{2}\psi \left( {\frac {{+1}}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\cuna \frac{{\pi \left( {a + 1} \right)}}{2} = - \frac{\pi }{2}\tan \frac{{\pi}}{2} \cr} $$
Por lo que la serie de convertirse en
$$\eqalign{ & \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} = \frac{\pi }{2}\left\{ {\cuna \frac{{\pi}}{2} + \tan \frac{{\pi}}{2}} \right\} \cr & \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a + k}}} = \pi \csc \pi \cr} $$
La última de ser una aplicación de una identidad trigonométrica.
