Problema sobre la resolución del límite infinito con raíz cuadrada

Question

(I) $$\lim_{x \to \infty } \, \left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \left(x\sqrt{1+1/x}-x\sqrt{1-1/x}\right)=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \left(x\sqrt{1}-x\sqrt{1}\right)=\lim_{x \to \infty } \, \left(x-x\right)=0$$ (II) $$\lim_{x \to \infty } \, \left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \left(\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)*\frac{\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)}\right)=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \frac{2x}{\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\right)}=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \frac{2x}{\left(x\sqrt{1+1/x}+x\sqrt{1-1/x}\right)}=$$ $$\lim_{x \to \infty } \, \frac{2x}{\left(x\sqrt{1}+x\sqrt{1}\right)}=\lim_{x \to \infty } \, \frac{2x}{2x}=1$$

He encontrado estas dos formas de evaluar este límite. Sé que la respuesta es 1. La primera es seguramente incorrecta. La pregunta es: ¿por qué? ¿Qué es lo que está mal ahí?

Answer 1

Usted sacó el $1/x$ parte. Seguramente $1/x\to0$ en el límite, por lo que puede parece puede evaluarlo para $0$ y luego mirar el resto de la función en el límite todo hunky-dory, pero considerar la aplicación de esa idea a:

$$1=\lim_{x\to\infty} \left(x\cdot\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}\big(x\cdot0\big) =\lim\,0=0.$$

No funciona.

Answer 2

Por la misma lógica errónea concluirías $\rm\:2\: =\: x(1+1/x)-x(1-1/x)\to\: 0$

En su ejemplo $\rm\:\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}x}-\sqrt{1-\frac{1}x}\ =\ \frac{1}x + \frac{1}{8\: x^3} +\: \cdots\:$ que deja claro el error.

Si los términos dominantes de una suma de series se cancelan, entonces hay que mirar los términos siguientes.