La enumeración de los gráficos que surgen en la teoría de invariantes

Question

He estado trabajando en una ponencia basada en algunas cosas en Olver "Clásica Teoría de Invariantes" libro y han estado preguntando sobre un gráfico de la enumeración problema.

Empezar con un triple $(n,v,e)$ de los números naturales. Tomar todas las $\mathbb{Q}$-combinaciones lineales de gráficos (que permite múltiples aristas, pero sin bucles) con $v$ vértices, $e$ bordes, y cada vértice tiene en la mayoría de las $n$ bordes yendo o viniendo de él. Ahora, tomar tres relaciones (las imágenes escaneadas de las Olver)

Regla 1:

Regla 2:

Regla 3:

En función de las $v$ con un vértice como subíndice al lado de un gráfico significa que el gráfico multiplicado por $n$ menos el número de bordes conectados a ese vértice. (Así, por ejemplo, un vértice aislado se multiplica por $n$)

Denotar el espacio después de quotienting por estas relaciones por $V_{n,v,e}$. Y así, en forma definitiva, mi pregunta:

¿Qué es $\dim V_{n,v,e}$? O al menos, podemos encontrar relativamente eficaz límites superior?

EDIT: Algunas aclaraciones. Los colorantes en los vértices son sólo para marcar en las fotos para hacer un seguimiento de dónde va todo, los gráficos no están marcados por sí mismos. Además, como la Regla 2, es un poco confuso de la exploración, el $v$ función es siempre el vértice no se adjunta a la flecha en la configuración.

Answer 1

El número de ${\rm dim}\ V_{n,v,e}$ es el número de linealmente independientes covariants de grado $v$ peso y $e$ de una forma binaria de grado $n$. Esta es la multiplicidad de la irreductible módulo de $Sym^k(\mathbb{C}^2)$ en el plethysm $Sym^v(Sym^n(\mathbb{C}^2))$, donde $k=nv-2e$. No hay fórmula para que la participación de contar entero particiones (Cayley-Sylvester de la fórmula). La forma más sencilla de obtenerlo, que yo sepa, es mediante el cálculo de la personaje que es un polinomio de Gauss. Creo que el libro por Mukai. También puede buscar http://arxiv.org/abs/math/0110224

Answer 2

He estado fascinado por esta y nunca llegó a la parte inferior de la misma. No me atrevo a ofrecer esto como una respuesta, pero creo que esta pregunta merece una respuesta. Me disculpo si ya sabes esto.

Como yo lo entiendo (y por favor corríjanme si estoy equivocado), el problema fundamental que se presentó en el Capítulo 2 es entender el espacio de covariants de grado determinado $n$, a fin de $p$, en peso $w$ (con relación (2.33)). En el lenguaje de representación que toma el $p$-th simétrica poder de la $n$-th simétrica poder de la definición de la representación de $GL(2)$. Luego tomamos el isotypic subespacio correspondiente a $\det^{-w}$. A juzgar por la tabla de la página 40 y el acompañamiento de la discusión de las dimensiones de estos espacios son difíciles de calcular. Mi comprensión es que, incluso con los ordenadores actuales es aún más difícil.

Cada gráfico da una covariante por algún proceso me parece oscuro y de la gráfica de las relaciones corresponden a relaciones lineales. Por el primer y segundo teoremas fundamentales de los espacios vectoriales de preguntar acerca de se identifican con los espacios de covariants (aunque los nombres de los parámetros parecen haber sido cambiado).

Las dimensiones de los espacios de covariants se expresan normalmente en términos de Hilbert de la serie y estos, en principio, puede ser calculado (utilizando Molien del teorema). Para cada una de las $n$ es una función racional. Estos son conocidos por $n=1,2,3$, pero rápidamente se vuelven difíciles de manejar y poco informativo. Parece plausible que la asymptotics de Hilbert de la serie puede ser calculado sin encontrar la función racional.

De nuevo, espero que simplemente estoy replanteando la pregunta, no contestan.