En esta pregunta el autor de la pregunta, se menciona que el límite de no existir ésta: $$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{1+\cos(x)}$$ Gráficamente puedo ver que el límite no existe, pero me gustaría saber ¿qué es la prueba. También me pregunto si hay una regla general que puede ser aplicado a cualquier límite para saber si el límite existe.
Lo siento si esta pregunta es un poco tonta, y gracias de antemano por las respuestas.
Deje $f$ ser una función definida en el $\mathbb{R}$$\ell\in \mathbb{R}$. A continuación, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si y sólo si para cada secuencia $(x_n)$ que tiende a $+\infty$, obtenemos $f(x_n) \rightarrow \ell$.
Así, con el fin de demostrar que un límite de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ no existe, es suficiente para demostrar que no son secuencias de $(x_n),~(y_n)$ que tienden a $+\infty$$\ell_1,~\ell_2\in \mathbb{R}$, de tal manera que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}f(x_n)=\ell_1\neq \ell_2=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}f(y_n).$
En nuestro caso: tome $x_n=2\pi n,~y_n=2\pi n+\pi/2.$
Como $x$ tiende a infinito, hay arbitrariamente grande, $x$ que $\cos(x) = 1$ y para el que $\cos(x) = 0$.
En el primer caso, la proporción en la mano es $1/2$; en el último caso, es $1$.
Si una secuencia alcanza dos diferentes valores infinitamente a menudo, entonces no puede converger.
Un fenómeno similar está en marcha con el límite tomado de esta expresión.
Por separado: Usted probablemente desea que su denominador de ser un poco diferente, digamos, $2 + \cos(x)$.
Ahora, se corre el riesgo de encontrarse $x$ que $\cos(x) = -1$, lo que hará que el denominador de la expresión de un algo incómodo $0$.
$\cos(x)$ es periódica. Para todos los valores de $x$, $\cos(x)$ va a tomar un valor en $[-1,1]$.
Es probablemente más fácil que se muestra por medio de un ejemplo. Vamos a tomar el coseno de un mil millones (en radianes). $$\cos(10^9) \approx 0.84$$ A continuación,$\frac{1}{1+0.84} \approx 0.54$. Ahora vamos a ir un poco más allá en $x$,$\pi/2$: $$\cos(10^9 + \pi/2) \approx -0.54$$
Así que, a continuación,$\frac{1}{1-0.54} \approx 2.17$. ¿Por qué esto no convergen? Coseno de $x$ oscila para siempre. En consecuencia, el límite en el infinito no existe.
Supongamos $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac 1 {1+\cos x} = L$.
Luego de cierto número $x_0$, siempre que $x>x_0$ $ \dfrac 1 {1+\cos x}$ entre $L\pm 0.0001$.
Hay algunos valores de $x>x_0$ que $\dfrac 1 {1+\cos x} = \dfrac 1 {1+0} = 1$ y hay algunos valores de $x>x_0$ que $\dfrac 1 {1+\cos x} = \dfrac 1 {1+1} = \dfrac 1 2$.
Por lo tanto, los números de $1$ $1/2$ entre $L\pm0.0001$. Que implica $1$ difiere de $1/2$ por menos de $2\times0.0001$.
Si se Sabe que cualquier périodic función que admite un límite en + $\infty$ es necesariamente constante, a continuación, el résult sigue inmediatamente porque nuestra función es périodic y no es constante. La prueba de esto résult puede llevarse a cabo mediante dos séquences tal que f toma un diferente valor constante en cada uno de los cuales. (Como Nikolaos skout hizo)
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