Sobre el producto de $\mathfrak c$ -muchos espacios separables

Question

Ya he averiguado cómo demostrar que el producto contable de espacios topológicos separables es separable, pero me he quedado sin ideas cuando el conjunto índice tiene cardinalidad de $\mathfrak c$ . Mi libro de texto dice que es posible pero no da referencias. ¿Alguna sugerencia para demostrarlo?

En un entorno menos general, también me interesaría ver cómo se construye un conjunto denso contable para $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ . Gracias de antemano.

Answer 1

Se trata de un caso especial de Teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery véase, por ejemplo, el teorema 2.3.15 de la Topología general de Engelking:

Si $d(X_s)\leq \alpha\geq\aleph_0$ para cada $s\in S$ y $|S|\leq 2^\alpha$ entonces $d(\prod X_s)\leq\alpha$ .

En $d(X)$ denota el _densidad_ del espacio topológico $X$ , que se define como $$d(X)=\min\{|D|; D\text{ is a dense subset of }X\}+\aleph_0.$$ Es decir, $d(X)$ es la cardinalidad más pequeña de un subconjunto denso, pero si existe un subconjunto denso finito, ponemos $d(X)=\aleph_0$ .

Esto significa que un espacio topológico es separable si y sólo si $d(X)=\aleph_0$ .

Encontrará más referencias en Planetmath . Artículo de Wikipedia sobre espacio separable menciona Teorema 16.4c en Topología General de Willard como referencia para el caso especial sobre el que preguntas.

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Encontrará una demostración de este teorema en esta entrada de Ask a Topologist. ( Wayback Machine El post fue escrito por Henno Brandsma .)

Este teorema puede utilizarse para demostrar que existe una familia independiente en $\mathbb N$ de cadencia $\mathfrak c$ ver Stephan Geschke 's Puesto MO y papel .

Answer 2

Para $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ intente verlo como el conjunto de todas las funciones de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{R}$ . Entonces el conjunto de polinomios con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable. (Demostrar que todo conjunto abierto no vacío contiene un polinomio de este tipo. Puede ayudar demostrar primero que todo conjunto abierto no vacío contiene un polinomio con coeficientes reales).