Nonabelian $p$ -Todos los subgrupos propios son abelianos.

Question

Teorema. Dejemos que $G$ sea un finito, no abeliano $p$ -Todos los subgrupos propios son abelianos. Entonces $|G'|=p$ .

Tomemos un contraejemplo de orden mínimo. Supongamos que existe un $H$ tal que $1<H<G'$ .
Entonces (por $G'\leq \Phi (G) \leq Z(G)$ ) $H\vartriangleleft G$ . De esto deducimos que podemos asumir $|G'|\leq p^2$ .

¿Entonces? ¿Cómo voy a continuar?

Editar
Información adicional
$G'$ es abeliano elemental ya que $G$ es Frattini en el centro.

Answer 1

Consulte la página $6$ de Miller y Moreno .

Answer 2

Estaba pensando... $G$ es un grupo finito y nilpotente (por tanto, también soluble); por tanto, existe un $G_1\vartriangleleft G$ tal que $|G:G_1|=p$ . $G$ es mínima no abeliana, por lo que $G=<x, y>$ . Podemos suponer $y\notin G_1$ pero entonces existe un $g\in G_1$ tal que $y^n=xg$ Así que $G=<y,g>$ . Entonces, como en el caso anterior, $G'=[G_1,y]$ y cada $x\in G'$ es un producto de elementos de la forma $[y^{n_1}g^{m_1}...y^{n_t}g^{m_t}, y^c]$ . Por lo tanto, cada $x\in G'$ tiene la forma: $[g^m, y^s]=[g, y]^{k}$ .
$G'$ es cíclico y abeliano elemental, ya que $G$ es Frattini-en-el-centro, así que $|G'|=p$ .