¿Cómo se obtienen estas definiciones del tensor momento-energía?

Question

Estaba leyendo un libro Simetría especular por el Instituto Clay de Matemáticas y en la página 402 del libro, el autor dice que el tensor momento-energía se define clásicamente por $$\delta S = -\frac{1}{4 \pi} \int \sqrt{h} d^2 x \delta h^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$$ y mecánicamente cuántica por $$\delta_h \langle O\rangle = \left\langle O \frac{1}{4\pi} \int \sqrt{h} d^2 x \delta h^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\right\rangle$$

Esta es mi pregunta: Sé que por la acción de Einstein-Hilbert se puede obtener $T_{\mu\nu} = 2 \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta h^{\mu\nu}} $ . Pero ¿cómo puedo obtener la forma exacta de $\delta S$ como arriba? O $\delta_h\langle O\rangle$ .

Answer 1

Sea $W$ ser cualquier $d$ -dimensional con métrica $h_{ab}$ y que $S(W)$ sea cualquier acción definida en $W$ . En _tensor energía-momento se define normalmente por (hasta un múltiplo escalar de todos modos; parece que en su caso la definición se modifica por un factor de $-4\pi$ ): $$ T_{ab}:=\frac{1}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}, $$ donde $h:=\det (h_{ab})$ . Por definición, bajo una variación de la acción con respecto a la métrica, $$ \delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \, \delta h^{ab}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}} $$ (esta es la definición de la derivada variacional). Basta con introducir la definición de $T_{ab}$ obtenemos $$ \delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \sqrt{|h|}T\{ab}\delta h^{ab}. $$ Como se mencionó antes, todo el mundo tiene una convención diferente sobre qué múltiplo escalar debe poner delante de la definición del tensor de energía-momento, pero como puedes ver, esta es la forma que enumera tu libro hasta una constante.

Sin embargo, lo que puede no resultar obvio es por qué hacemos esta definición. Es una buena definición por un par de razones. En primer lugar, en muchos casos (¡pero no en todos!), coincide con el llamado tensor de energía-momento noetheriano, es decir, el que se obtiene calculando las corrientes conservadas que surgen de la invariancia bajo traslaciones. En los casos en que no coincide con la definición noetheriana, $T_{ab}$ definida de este modo suele tener mejores propiedades. Por ejemplo, en QED en espacio-tiempo plano el tensor de energía-momento noetheriano debería no sea invariante gauge, mientras que esta definición sí lo será. Análogamente en este caso, el tensor de energía-momento noetheriano debería no ser simétrica, mientras que esta definición sí lo será (se deduce claramente de la definición). Además, la definición noetheriana no tiene sentido en el espacio-tiempo curvo: ¿qué significa "trasladar" coordenadas en una esfera, por ejemplo? Sin embargo, la definición siempre tiene sentido. Finalmente, esta es la definición que da lugar a la ecuación de Einstein del Acción de Einstein-Hilbert .

Lo sé. El libro de Wald sobre la Relatividad General contiene más detalles al respecto en uno de sus apéndices (Apéndice E Formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la relatividad general ), aunque también existen otras fuentes.