Si la derivada de $f$ nunca es cero, entonces a $f$ es uno-a-uno

Question

Este es un ejercicio de Abbott de la segunda edición de la Comprensión de Análisis.

Deje $f$ ser diferenciable en un intervalo de $A$. Mostrar que si $f'(x) \neq 0$$A$, muestran que $f$ es uno-a-uno en $A$. Proporcionar un ejemplo para mostrar que el recíproco de la declaración no tiene que ser verdadero.

Mi solución (continuación) ¿correcto?

Deje $x_{1},x_{2} \in A $ tal que $x_1 \neq x_2$. Ya que la función satisface todas las condiciones del valor medio teorema, existe $c \in (x_1,x_2)$ [sin pérdida de generalidad podemos considerar $x_1 < x_2$] tal que $f(x_2) - f(x_1) = (x_2 -x_1) f'(c) \neq 0$ como se da eso $f'(x)$ es distinto de cero en $A$ $x_1 \neq x_2$ es nuestra suposición. Por lo tanto, $x_1 \neq x_2$ implica $f(x_1) \neq f(x_2)$ por cada $x_1,x_2 \in A$. Por lo tanto $f$ es de uno a uno en $A$.

A la inversa puede no ser cierto. Considere la posibilidad de $A=[-1,1)$$f(x)= x^3$. Por lo tanto, $f$ es inyectiva en a $A$. De nuevo $f'(x)= 2x^2$. Por lo tanto,$f'(0)=0, 0 \in A$. Así que a la inversa no tiene que ser verdadero.

Answer 1

Si la función es diferenciable y $f'(x)\neq0$, por el Teorema de Darboux tiene el valor intermedio de la propiedad.

Supongamos por contradicción que hay dos números reales $x_1,x_2 \in A$ tal que $f'(x_1)<0$$f'(x_2)>0$. Esto implica la existencia de $x_3\in A$ s.t. $f'(x_3)=0$, contradiciendo la hipótesis de $f'(x)\neq 0$.

Debido a que el derivado $f'$ es estrictamente positivo o estrictamente negativo en $A$, $f$ es monótona y, por tanto inyectiva.