"Lo primero" dados por $N$ jugadores

Question

Estoy interesado en juegos de dados que puede ser utilizado para determinar que "va primero" (de ahí el nombre) en un $N$-jugador de juego; más generalmente, quiero determinar un completo orden de los jugadores con un solo rollo de los dados, y tener este orden será aleatorio. Específicamente, entonces, lo que se necesita es una asignación de las etiquetas de $\{1,2,...,Nm\}$ a las caras de $N$ diferentes $m$caras de los dados, de tal manera que:

1. No hay dos caras comparten una etiqueta (así que no hay lazos puede ocurrir).
2. Cuando la cara es elegido al azar en cada uno de los troqueles, que la clasificación de los dados basado en la elección de las caras es uniformemente al azar a través de todas las permutaciones (lo que los rollos son de la feria).

Por ejemplo, si $N=2$ $m=2$ (dos monedas, básicamente), a continuación, puede etiquetar las monedas de $\{1,4\}$$\{2,3\}$. Una solución para $N=4$ $m=12$ se vende aquí. Para qué valores de a $N$ $m$ ¿hay soluciones?

Una simple restricción en el valor mínimo de $m$ proviene del hecho de que estamos eligiendo uno de $N!$ posibilidades sobre la base de $m^N$ equiprobables rollos; ciertamente, la primera debe dividir el último. Así, por $N=2,3,4,5,6,\dots$, necesariamente,$m \ge 2, 6, 6, 30, 30, \dots$. Es este valor mínimo siempre alcanzable?

Answer 1

Para N=4, m=6 no es suficiente. He comprobado exhaustivamente todas las posibles 4d6 configuraciones y vino para arriba con las manos vacías. Es por eso que el GoFirst dados en mi sitio web son 4d12 (12 caras). Todavía no sé si m=30 es suficiente para N=5 (mucho menos N=6).

Geométricamente, un 60 caras de la feria poliedro existe y es estéticamente agradable (cfr Pentakis Dodecaedro) si eso es lo que se necesita. Pero tratando de encontrar un 5d30 está demostrando que es más que un típico equipo que puede manejar, y mucho menos un 5d60.

Answer 2

¿Qué restricciones hay en $m$, el número de lados de los dados? Una vez $N$ aciertos $7$ necesita $7$ brecha $m$ y de hay no regulares los poliedros que puede hacer eso. Si todos los dados son el mismo, deberá $m$ a un múltiplo de $210$ si $N \ge 7$. Tal vez es mejor utilizar dados de diferentes tamaños. Hay 14 caras de los poliedros que se ven cerca de la esférica. El truncado de cubo y octaedro truncado debe ser capaz de tener las dimensiones elegidas para ser justos. A continuación, para $N=7$, rollo $d14, d20, 2d6$ conseguir $10080$ posibilidades. Si los dados son de color o de otra manera distinguible, todos los $m_1m_2 \ldots m_n$ rollos son distinguibles, por lo que si $N! | m_1m_2 \ldots m_n$ que sin duda puede hacer lo que quiera.

Answer 3

Si se elimina la restricción de que los dados debe tener el mismo número de caras, entonces para $N\!=3$, se tiene (al menos) los siguientes dos posibilidades, con un $6$-caras, a una $3$-caras y una $4$caras de los dados (de un total de $13$ caras): $$1,3,7,8,11,12\qquad2,9,10\qquad4,5,6,13$$ $$1,3,8,9,10,11\qquad2,7,12\qquad4,5,6,13$$ Ya que no hay necesidad de caras en una sola dados a ser distintas, estas son equivalentes a: $$1,3,5,5,7,7\qquad2,6,6\qquad4,4,4,8$$ $$1,3,6,6,6,6\qquad2,5,7\qquad4,4,4,8$$ respectivamente.

Parece probable que también hay soluciones para $N\!=4$ con menos (tal vez mucho menos) de un total de $48$ caras.