Hallar la suma de todos los residuos cuadráticos módulo $p$ donde $p \equiv 1 \pmod{4}$

Question

He leído un teorema en el libro, se dijo que no se exactamente $\dfrac{p-1}{2}$ residuos cuadráticos de $p$. Así, para cada $i$, $$x^2 \equiv a_i \pmod{p} \text{ where } 1 \leq i \leq p - 1$$

Pero si sumamos todos los $a_i$, entonces lo que hace esta suma igual a? $$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}a_i = ?$$

No he utilizado la condición de que $p \equiv 1 \pmod{4}$, así que creo que me perdí un punto importante aquí. Alguna idea?

Actualización
El problema original
Deje $p$ ser un primo tal que $p \equiv 1 \pmod{4}$.
Demostrar que la suma de los números de $1 \leq r \leq p - 1$ que son residuos cuadráticos módulo $p$$\dfrac{p(p-1)}{4}$.

Gracias,

Answer 1

Debido a $p\equiv 1\bmod 4$, $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$. El producto de dos cuadrática de los residuos es un residuo cuadrático. Esto significa que para cualquier de residuos cuadráticos $a$, $-a$ también es un residuo cuadrático. Por lo tanto la suma cancela a $0\bmod p$.

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Porque hay $\frac{p-1}{2}$ residuos cuadráticos mod $p$, y todos ellos se encuentran en pares $a$$p-a$, $\frac{p-1}{4}$ parejas, cada una de cuya suma es $p$, por lo tanto la suma de todos ellos es $\frac{p(p-1)}{4}$.