Considerar $$f(x)=\begin{cases} x\cos\frac{\pi}{x} & \text{for} \ x\ne0 \\ 0 & \text{for} \ x=0. \end{casos} $$
Su diferencia cociente $\frac{\Delta\left(f(x)\right)}{\Delta(x)}=\cos\frac{\pi}{h}$, y por lo tanto no es diferenciable en el origen debido a la $\lim\limits_{h\to0}\cos\frac{\pi}{h}$ no existe. Este es el argumento de $y=x \cos \frac{\pi}{x}$:
Pero aquí es cómo mi libro:
El examen de la figura, podemos prever que la recta tangente en un punto genérico $P$ de la gráfica no tenderá a cualquier limitación posición como $P$ tiende al origen a lo largo de la curva. Uno puede pensar que esto sucede debido a que la gráfica de la función se completa infinitamente muchas oscilaciones en cualquier barrio de el origen. De hecho, no: de hecho, la función define así: $$g(x)=\begin{cases} x^2\cos\frac{\pi}{x} & \text{for} \ x\ne0 \\ 0 & \text{for} \ x=0 \end{casos} $$ tiene una gráfica que completa infinitamente muchas oscilaciones en cualquier barrio de el origen, pero, como se puede comprobar, es diferenciable en a $x=0$ y tenemos $g'(0)=0$.
Este es el argumento de $y=x^2 \cos \frac{\pi}{x}$:
Por lo tanto, tengo dos preguntas relacionadas con lo que he citado en el libro: ¿cómo podemos prever el no la diferenciabilidad de $f$, dado que, correctamente, la infinitud de las oscilaciones no es un argumento? Y entonces, ¿por qué no $f$ diferenciable, en lugar de $g$?
He de destacar que sé que, simplemente, el límite de $h\to 0$ de la diferencia de proporción de $f$ no existe, mientras que la de $g$ no, pero me he estado preguntando acerca de otro tipo de razón después de leer este fragmento. O es mi libro equivocado al mencionar otras razones?
