Ejemplo de Serie Convergente

Question

Puede alguien pensar que de las secuencias de $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ tal que $\sum a_n$ diverge, ${b_n}\to\infty$, pero $\sum a_nb_n $ converge?

Gracias.

Tenga en cuenta que $\{a_n\}$ debe tener un número infinito de términos positivos y una infinidad de términos negativos.

Edit: tengo la sensación de que sólo Qiaochu Yuan podría contestar esto... ;)

Answer 1

Deje $c_n = (-1)^n/\sqrt{n}$. A continuación, $\sum c_n$ converge por la alternancia de la serie de prueba. Deje $b_n=\sqrt{n}$ o $n$ dependiendo de si $n$ es par o impar. A continuación,$b_n \to \infty$. Deje $a_n = c_n / b_n$. A continuación, $a_n = 1/n$ si $n$ es incluso y $a_n = -1/n\sqrt{n}$ si $n$ es impar, por lo que la negativa a $a_n$'s tiene un número finito de suma, que el positivo $a_n$'s no. Por lo tanto $\sum a_n$ diverge.