Cómo demostrar a $\max_{x \in I} |f(x)| \leq \max_{x \in I} |f'(x)|$?

Question

Hoy hemos tenido un probational examen en el análisis. Yo no era capaz de resolver uno de los ejercicios y no tengo idea de lo que el teorema de aplicar para resolverlo:

Deje $I=[0,1]$ $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ ser continuamente diferenciable. Suponiendo que $f$ tiene una raíz. Mostrar: $$\max_{x \in I} |f(x)| \leq \max_{x \in I} |f'(x)|$$

¿Este teorema tiene un nombre? ¿Qué otras teorema necesito para demostrarlo? Estoy seguro de que el hecho de que la función tiene una raíz es importante, pero no veo por qué y cómo hacer uso de ella...

Gracias por su ayuda!

Answer 1

El ejemplo $f(x)\equiv 1$ demuestra que tener una raíz es importante.

Deje $x_0\in I$ ser tal que $|f(x_0)|=\max_{x\in I}|f(x)|$, y deje $r\in I$ ser tal que $f(r)=0$. A continuación,$\left|\frac{f(x_0)-f(r)}{x_0-r}\right|\geq |f(x_0)|$, y se puede aplicar el Valor medio el Teorema de acabado. La continuidad de la derivada no es necesario, la continuidad de la $f$ $I$ y la diferenciabilidad en $(0,1)$, excepto que con la continuidad de la $f'$ realmente se puede decir que el lado derecho de la desigualdad es un max en lugar de una sup.

Answer 2

No sé si este teorema tiene un nombre, pero suponemos derecho que es importante que $f$ tiene una raíz (de lo contrario, la adición de una constante permite que los valores de $f$ arbitrariamente grandes sin cambiar de $f'$). Una prueba es una aplicación directa del teorema fundamental de análisis y un estándar de la estimación de la integral. De hecho, si $x_{0}$ es tal que $f(x_{0}) = 0$$f(x) = \int_{x_{0}}^{x} f'(t)\,dt$. Ahora combine esto con el hecho de que $|\int_{a}^{b} h| \leq \int_{a}^{b}|h|$ todos los $a,b$ y todos los integrable $h$.

Answer 3

Sugerencias: valor medio teorema de entre una raíz y en cualquier momento + el hecho de que el diámetro de $I$$1$.

Por cierto, la continuidad en el intervalo cerrado $I$ y la diferenciabilidad en el interior de $I$ son suficientes.