De hormigón y aritméticamente forma útil para interpretar sin apelar a lo explícito cocycle fórmulas, es expresar todo lo que en el lenguaje de torsors. Más específicamente, para la aritmética a los efectos de si el grupo G es Gal(F'/F) para una extensión de Galois de F'/F y si el grupo K es H(F') para una F-esquema de grupo H de la finitos tipo y K está equipado con la evidente a la izquierda del G-acción, entonces, ${\rm{H}}^1(G,K)$ es el conjunto de clases de isomorfismo de H-torsors más de F, que se divide en F' (es decir,,, admitir una F'-racional). El bajo grado exacto de la secuencia puede ser expresada completamente en tales términos, el uso de pushouts pullbacks con torsors. (Implícito en el argumento es la efectividad de Galois descenso de H-torsors, el cual usa la H es cuasi-proyectiva sobre F.)
Esto es útil en lugares tan variados como el H de una abelian variedad y H un algebraicas lineales grupo, e incluso el no-liso caso. De hecho, cuando el uso no-liso H es bastante restrictivas para el uso de Galois cohomology (pero no antinatural, si el estudio de Tate-Shafarevich conjuntos con coeficientes en un Aut-functor, como para una variedad proyectiva), y en estos casos, el "derecho" de la variante de que a menudo es más útil es la de trabajar con torsors para la fppf topología de más de F. El torsor punto de vista, también ofrece una perspectiva útil cuando se trabaja más ricos de la base de anillos de campos, tales como anillos de enteros en un campo global, incluso en el caso de un buen coeficiente de grupo (sobre el anillo de S-enteros), para que el etale topología es "suficiente". Consulte la sección 5.3 del Capítulo I de la Serre, el libro de Galois cohomology para la Galois caso, Milne "Etale cohomology" libro para la generalización con tv y \'etale topologías, y el Apéndice B en mi artículo sobre "la Finitud teoremas para algebraicas grupos en función de los campos" para un hormigón desarrollarse del diccionario entre el torsor y Galois idiomas (donde yo trabajo afín con el grupo de sistemas, debido a que el contexto de este documento).
Algunos papeles de Mazur y Grothendieck (no como co-autores...) en abelian variedades de hacer un uso creativo de la torsor punto de vista cuando se trabaja con Tate-Shafarevich grupos. La secuencia exacta de Brauer de grupos en el mundial de la clase de teoría de campo también tiene una interpretación útil, a través de torsors; ver Grothendieck los papeles en Brauer grupos de más en esa dirección (y en algún lugar también discute Tate-Shafarevich). Ten en cuenta que cuando la base no es un campo (o incluso cuando se trata de un campo de juego, pero nos relajamos "cuasi-proyectiva" a "localmente finito de tipo" on $H$, como para Aut-esquemas de proyectiva o variedades apropiadas), a continuación, efectividad de descenso para torsors no es del todo claro, incluso con cuasi-proyectiva hipótesis, y así la torsors a menudo necesitan ser entendidos para ser tomado en la categoría de algebraica de los espacios (para que fppf descenso es siempre eficaz). En el N\'eron Modelos libro tienen una discusión (en algún lugar en el Capítulo 6, creo) sobre la efectividad de descenso para torsors si se quiere evitar algebraicas espacios (bajo las hipótesis apropiadas en el "coeficiente de grupo"), pero el trabajo con expresiones algebraicas espacios no es tan malo una vez que uno se acostumbra a ellos y es una forma más natural, debido a su mejor comportamiento general con respecto a la descendencia.
