Supongamos que se le da a una pregunta que va como esto:
Considerar tres planetas que giran alrededor de una estrella en circulares separadas las órbitas de los que comparten el mismo plano orbital. El primer planeta, Una, toma 385 días a completa su órbita. El segundo planeta, B, toma 814 días, mientras que el tercero planeta, C, toma 1672 días. Supongamos, en un momento en el tiempo, los tres los planetas y las estrellas están en una línea recta entre cada uno de los otros (es decir, son colineales). Cómo calcular muchos días, las estrellas y los planetas se colineal de nuevo.
Parece una pregunta simple. Bastante obvio, hay al menos dos trivial soluciones para este tipo de pregunta. El primero es el lineal de productos de todas las figuras: 385 x 814 x 1672 = 523988080 días, mientras que el segundo es su Mínimo Común Múltiplo (MCM): LCM(385, 814, 1672) = 2165240 días. Pero, sorprendentemente, apenas tarda $\frac{2165240}{39}$ días para los planetas para ser colineales de nuevo, aunque no en el mismo lugar. La pregunta no restringir la respuesta sea un número entero, después de todo.
Mi "Orbital Colinealidad Teorema" :P
Por ensayo y error, me enteré de que el número de días para los planetas para ser colineales de nuevo puede ser calculado por la fórmula:
$\dfrac{LCM(d_1, d_2, ... , d_n)}{M}$
donde LCM(...) denota el Mínimo Común Múltiplo y M es el entero más grande para que el siguiente modular de la congruencia se tiene:
$\frac{d_1}{G} \equiv \frac{d_2}{G} \equiv ... \equiv \frac{d_n}{G} \pmod{M}$
donde G es el máximo Común Divisor de los números de los días de los planetas para completar sus respectivas órbitas ($d_1$, $d_2$, ... , $d_n$). En otras palabras, M es el entero más grande que puede dar el mismo resto cuando se divide cada uno de $\frac{d_1}{G}$, $\frac{d_2}{G}$, ... , $\frac{d_n}{G}$. Si no hay M que es mayor que 1 (ya que todos los números enteros dará resto de 0 cuando se divide por 1), la respuesta será la LCM, el cual es muy esperado.
Para 385, 814 y 1672, el valor de M es de 39:
$GCD(385, 814, 1672) = 11$
$\frac{385}{11}=35$ $35 \bmod 39 = 35$
$\frac{814}{11}=74$ $74 \bmod 39 = 35$
$\frac{1672}{11}=152$ $152 \bmod 39 = 35$
Realmente no tengo la prueba/trabajo, ya que es de prueba y error, pero hasta ahora después de probar con muchas muestras de la fórmula parece llevar a cabo para cada caso. Así que vamos a ver si después de $\frac{2165240}{39}$ días, los tres planetas son colineales o no:
Planeta: si toma 385 días en completar su órbita, después de $\frac{2165240}{39}$ días, ha viajado $\frac{2165240}{39} \cdot \frac{1}{385}=144 \frac{3080}{15015} = 144 \frac{8}{39}$ ciclos
El planeta B: si toma 814 días en completar su órbita, después de $\frac{2165240}{39}$ días, ha viajado $\frac{2165240}{39} \cdot \frac{1}{814}=68 \frac{6512}{31746} = 68 \frac{8}{39}$ ciclos
El planeta C: si toma 1672 días en completar su órbita, después de $\frac{2165240}{39}$ días, ha viajado $\frac{2165240}{39} \cdot \frac{1}{1672}=33 \frac{13376}{65208} = 33 \frac{8}{39}$ ciclos
Debería ser obvio que el número de ciclos que los tres planetas se han ido tienen la misma parte fraccionaria, que es $\frac{8}{39}$. Lo que significa que son todos los $\frac{8}{39}$ ciclo en su ciclo actual (34, 69 y calle 145). Por lo tanto todos ellos forman el mismo ángulo de su último colineales posición, por lo que son colineales.
Segundo ejemplo: de hora y de minutos de las manos
Los minutos y las horas de las manos se superponen en 12 de la mañana. A qué hora será la manos superposición de nuevo?
Considerando las manos, como los planetas que giran alrededor del reloj en el centro, podemos usar la fórmula para resolverlo. Primero tener en cuenta que la aguja de los minutos se tarda 60 minutos para completar un ciclo, mientras que la aguja de las horas se lleva a 720 minutos. LCM(60,720) = 720 y MCD(60, 720) = 60. Que nos va a dar M = 11. Por lo tanto se tomará $\frac{720}{11} = 65.454545454545454545454545454545$ minutos para ellos superposición de nuevo. Y la traducción que en el tiempo nos da la 1:05 y 27.27272727272 segundos. Correcto. Por otra parte, esta muestra es un ejemplo de por qué debemos dividir el número por su MCD para obtener el M, un paso que no fue significativa con los tres planetas pregunta; porque, si no, M sería de 60, lo que nos da 12 minutos como respuesta.
Por lo tanto, mi pregunta real es: ¿hay nombre oficial y prueba de esto, la fórmula o teorema?
p/s: perdonar las etiquetas inapropiadas ya que no tengo suficientes puntos para añadir nuevas etiquetas y no hay ninguna adecuado de las etiquetas entre las ya existentes.
EDITAR:
OK, he trabajado a cabo la prueba de la mitad del camino, pero todavía no puedo conectarlo a la última pieza. Estoy anexando la mitad de la prueba aquí con la esperanza de que alguno de ustedes me puede ayudar a completar:
Deje $L = LCM(d_1, d_2, ... , d_n)$. Entonces es un hecho que L es el menor número de días para los planetas para ser colineales de nuevo en la misma posición (es decir, todos ellos tienen gira en $c_1, c_2, ... , c_n$ número entero de ciclos de alrededor de la estrella). La prueba por contradicción: supongamos que existe otro número $K < L$ para que los planetas están alineados en la misma posición, entonces, L debe ser un múltiplo común de a $d_1, d_2, ... , d_n$, pero $L$ es el menor de sus múltiplos comunes, de ahí la contradicción.
Sin embargo, todavía tenemos una posibilidad de que L podría ser el M-ésimo tiempo de los planetas son colineales independientemente de la posición. Si tal $M > 1$ existe, entonces el número de ciclos que los planetas se han sometido a después de L días, $c_1, c_2, ... , c_n$, debe tener el mismo resto si se divide por M. por lo Tanto, el siguiente modular de la congruencia debe contener:
$\frac{L}{d_1} \equiv \frac{L}{d_2} \equiv ... \equiv \frac{L}{d_n} \pmod{M}$
Que es donde estoy ahora. Estoy tratando de conectar el por encima de congruencia:
$\frac{d_1}{G} \equiv \frac{d_2}{G} \equiv ... \equiv \frac{d_n}{G} \pmod{M}$
Es trivial hacerlo con $d_1$ $d_2$ porque $LCM(d_1,d_2)GCD(d_1,d_2) = d_1d_2$ pero la relación entre el MCM y el MCD se vuelve menos simplista por más de dos números. La más simple que pude encontrar es $\displaystyle a_1 ... a_n = GCD(a_1, a_2, ... a_n) LCM \left( \frac{a_1 ... a_n}{a_1}, \frac{a_1 ... a_n}{a_2}, ... \frac{a_1 ... a_n}{a_n} \right)$ (a partir de otra pregunta en Matemáticas SE) pero no puede ser utilizada directamente en la fórmula porque el MCD y MCM de los términos son diferentes.
Alguien puede ayudar?
