Encontrar $\int \frac{dx}{a+b \cos x}$ sin la sustitución de Weierstrass.

Question

Vi en algún lugar en Math Stack que había una manera de encontrar integrales en la forma $$\int \frac{dx}{a+b \cos x}$$ sin usar la sustitución de Weierstrass, que es la técnica habitual.

Cuando $a, b=1$, simplemente podemos multiplicar el numerador y el denominador por $1-\cos x$ y eso resuelve el problema de manera agradable.

Pero recuerdo que la técnica que vi era una forma agradable de evaluar estas incluso cuando $a, b\neq 1$.

Answer 1

Un truco usual es la sustitución $x=2y$. Tenga en cuenta que $$\frac{1}{a+b\cos(2y)}=\frac{1}{a+b(2\cos^2(y)-1)}=\frac{\sec^2(y)}{2b+(a-b)\sec^2(y)}=\frac{\sec^2(y)}{(a+b)+(a-b)\tan^2(y)}.$$ Por lo tanto, $$\int \frac{dx}{a+b\cos(x)}=\int \frac{\sec^2(y)}{(a+b)+(a-b)\tan^2(y)} \, dy.$$ Ahora concluya con la sustitución $t=\tan(y).

Answer 2

Kepler encontró la sustitución cuando intentaba resolver la ecuación $$\ell=mr^2\frac{d\nu}{dt}=\text{constante}$$ donde $\ell$ es el momento angular orbital, $m$ es la masa del cuerpo en órbita, la anomalía verdadera $\nu$ es el ángulo en la órbita pasado el periapsis, $t$ es el tiempo, y $r$ es la distancia al atractor. Esta es la segunda ley de Kepler, la ley de las áreas equivalente a la conservación del momento angular. Entonces, la primera ley de Kepler, la ley de la trayectoria, es $$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}$$ donde $a$ y $e$ son el semieje mayor y la excentricidad de la elipse. Para obtener $\nu(t)$, necesitas resolver la integral $$\int\frac{d\nu}{(1+e\cos\nu)^2}$$. Así que para relacionar el área barrida por un segmento de línea que une el cuerpo en órbita al atractor, Kepler dibujó un pequeño dibujo [![Figura 1][1]][1]

El atractor está en el foco de la elipse en $O$ que es el origen de coordenadas, el punto del periapsis está en $P$, el centro de la elipse está en $C$, el cuerpo en órbita está en $Q$, habiendo recorrido el área azul desde el periapsis y ahora en una anomalía verdadera de $\nu$. Para realizar la integral dada anteriormente, Kepler amplió el dibujo por un factor de $1/\sqrt{1-e^2}$ en la dirección $y$ para convertir la elipse en un círculo.

[![Figura 2][2]][2] [1]: https://i.sstatic.net/TlBAu.png [2]: https://i.sstatic.net/MVCCe.png

El cuerpo en órbita se ha movido hacia arriba a $Q^{\prime}$ a la altura $$y=\frac{a\sqrt{1-e^2}\sin\nu}{1+e\cos\nu}$$ Pero aún $$x=\frac{a(1-e^2)\cos\nu}{1+e\cos\nu}$$. Ahora pudo obtener el área de la región azul porque el sector $CPQ^{\prime}$ del círculo centrado en $C$, en $-ae$ en el eje $x$ y radio $a$ tiene un área $$\frac12a^2E$$ donde $E$ es la anomalía excéntrica y el triángulo $COQ^{\prime}$ tiene un área $$\frac12ae\cdot\frac{a\sqrt{1-e^2}\sin\nu}{1+e\cos\nu}=\frac12a^2e\sin E$$, por lo que el área del sector azul $OPQ^{\prime}$ es $$\frac12a^2(E-e\sin E)$$ y luego podemos volver y encontrar el área del sector $OPQ$ de la elipse original como $$\frac12a^2\sqrt{1-e^2}(E-e\sin E)$$. Así que si hacer una integral con un factor de $\frac1{1+e\cos\nu}$ a través de la anomalía excéntrica fue lo suficientemente bueno para Kepler, seguramente es lo suficientemente bueno para nosotros.

En el entero original, $$\int\frac{dx}{a+b\cos x}=\frac1a\int\frac{dx}{1+\frac ba\cos x}=\frac1a\int\frac{d\nu}{1+\left|\frac ba\right|\cos\nu}$$ donde $\nu=x+\pi$ (si $ab<0$) o $\nu=x$ (si $ab>0$). Ahora vemos que $e=\left|\frac ba\right|$ y podemos usar la anomalía excéntrica, $$\sin E=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin\nu}{1+e\cos\nu}$$ $$\cos E=\frac{\cos\nu+e}{1+e\cos\nu}$$ $$d E=\frac{\sqrt{1-e^2}}{1+e\cos\nu}d\nu$$ y la integral es $$\begin{align}\int\frac{dx}{a+b\cos x}&=\frac1a\int\frac{d\nu}{1+e\cos\nu}=\frac12\frac1{\sqrt{1-e^2}}\int dE\\ &=\frac1a\frac1{\sqrt{1-e^2}}E+C=\frac{\text{sgn}\,a}{\sqrt{a^2-b^2}}\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}\sin\nu}{|a|+|b|\cos\nu}\right)+C\\&=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}\sin x}{a+b\cos x}\right)+C\end{align}$$ Por supuesto, es otra historia si $\left|\frac ba\right|\ge1$, donde obtenemos una órbita no ligada, pero esa es una historia para otra hora de dormir.

Answer 3

Si la integral es una integral definida (típicamente de $0$ a $\pi/2$ u otras variantes de esto), entonces podemos seguir la técnica aquí para obtener la integral. El ingrediente clave es escribir $\dfrac1{a+b\cos(x)}$ como una serie geométrica en $\cos(x)$ y evaluar la integral de la suma intercambiando la integral y la suma.

Answer 4

Otra forma de llegar al mismo punto al que llegó C. Dubussy es la siguiente: \begin{align*} \frac{1}{a + b \cos x} &= \frac{1}{a \left (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \right ) + b \left (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \right )}\\ &= \frac{1}{(a - b) \sin^2 \frac{x}{2} + (a + b) \cos^2 \frac{x}{2}}\\ &= \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{(a + b) + (a - b) \tan^2 \frac{x}{2}}, \end{align*} y luego hacer la sustitución de $t = \tan \frac{x}{2}$ en la integral.

Answer 5

Si $a=b$ entonces puedes modificar ligeramente la técnica para $a=b=1$ para obtener:

$\int \frac{dx}{b+b\cos x}=\int\frac{b-b\cos x}{(b+b\cos x)(b-b\cos x)}dx$

$=\int\frac{b-b\cos x}{b^2-b^2\cos^2 x}dx=\int\frac{b-b\cos x}{b^2(1-\cos^2 x)}dx=\frac{1}{b}\int\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}dx$

Descomponiendo el numerador, y simplificando aún más:

$\frac{1}{b}\int\frac{1}{\sin^2 x}dx-\frac{1}{b}\int\frac{\cos x}{\sin^2 x}dx=\frac{1}{b}\int\csc^2 x\:dx-\frac{1}{b}\int\frac{\cos x}{\sin^2 x}dx$

La integral a la izquierda es $-\cot x$ y la de la derecha es una fácil sustitución con $u$ al tomar $u=\sin x$.

Entonces, ¿qué sucede si $a\neq b$?

$\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\int\frac{a-b\cos x}{(a+b\cos x)(a-b\cos x)}dx=\int\frac{a-b\cos x}{a^2-b^2\cos^2 x}dx$

Ahora, sumamos y restamos $b^2$ en el denominador y agrupamos el $+b^2$ con $-b^2\cos^2x$.

$=\int\frac{a-b\cos x}{a^2-b^2+b^2-b^2\cos^2 x}dx=\int\frac{a-b\cos x}{(a^2-b^2)+b^2(1-\cos^2 x)}dx$

Descomponemos nuevamente el numerador y utilizamos la identidad trigonométrica.

$\int\frac{a-b\cos x}{(a^2-b^2)+b^2(\sin^2 x)}dx$

y aquí estoy atascado.