La ecuación de onda de $u_{xx}+u_{xt}- u_{tt}=0$

Question

¿Alguien sabe cómo podemos resolver la ecuación de $u_{xx}+ u_{xt}- u_{tt}=0$ $u(x,0):=g(x)$ $u_t(x,0):=h(x)?$ me refiero a lo que se conoce cómo hacer esto para la ecuación de onda ver aquí , pero no sé cómo hacer esto en el caso más general la mezcla con el término.

Answer 1

Estamos tratando con la ecuación de onda $u_{xx}+u_{tt}-u_{tt}=0$. Aviso que tiene una mezcla de plazo. Así que no podemos usar la fórmula de d'Alembert aquí. (La fórmula supone una diferencia de cuadrados cuando "factoring" los derivados.) Aquí, tenemos a "factor" de los derivados manualmente.

Tenga en cuenta que podemos reescribir nuestra ecuación de onda como $$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)u=0.$$ And "factoring" out the derivatives (using the quadratic formula to help) gives $$\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1-\sqrt{5}}2 \frac{\partial}{\partial t} \right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{1+\sqrt{5}}2 \frac{\partial}{\partial t} \right)u=0.$$ Ahora establezca $\frac{\partial}{\partial \xi}:=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1-\sqrt{5}}2 \frac{\partial}{\partial t}$$\frac{\partial}{\partial \eta}:=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1-\sqrt{5}}2 \frac{\partial}{\partial t}$. Entonces la ecuación de onda se convierte en la forma Canónica $$\frac{\partial}{\partial \xi}\frac{\partial}{\partial \eta}u=0$$ or $u_{\xi \eta}=0$. Furthermore, the chain rules of $\frac{\partial}{\partial \xi}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{dx}{d\xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{dt}{d\xi}$ and $\frac{\partial}{\parcial \eta}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{dx}{d\eta}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{dt}{d\eta}$ imply $$\frac{dx}{d\xi}=1, \quad \frac{dx}{d\eta}=1, \quad \frac{dt}{d\xi}=\frac{1-\sqrt{5}}2, \quad \frac{dt}{d\eta}=\frac{1+\sqrt{5}}2.$$ Thus, we obtain $$x=\xi+\eta, \quad t=\frac{1-\sqrt{5}}2\xi+\frac{1+\sqrt{5}}2\eta,$$ lo que significa que pueden utilizar para realizar el cambio de variables.

Se puede terminar el resto a partir de aquí?

Answer 2

Me gustaría probar una solución de tipo $F(z)=F(x-ct)$ o $G(w)=G(x+ct)$. Para $F$ esto da $$ u_{xx}=F"(z)\\ u_{xt}=-cF"(z)\\ u_{tt}=c^2F"(z) $$ así $$ (1-c-c^2)F"(z)=0\implica c_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. $$ Por lo $F(x-c_it)$ es una solución para cada elección de $F$. Mismo razonamiento para $G$.

Answer 3

Sugerencia: observe que la ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

$$(D^2_x + D_x D_t - D^2_t)\, u = (D_x- \varphi^- D_t) (D_x - \varphi^+ D_t) u = 0, $$ where $\varphi^{\pm} = (-1 \pm \sqrt{5})/2$ are the two solutions of $s^2+s-1=0$. What if we now define $v := (D_x - (-1+\sqrt{5})D_t/2) u$? Puede usted resolver el 1er fin de ecuaciones en derivadas parciales?

Saludos!

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Por supuesto, se han dado cuenta de que $-\varphi^- = \varphi$ es el llamado cociente de oro, la satisfacción de $\varphi = 1 + \varphi^{-1}$.