Es $\frac{1}{\infty}$ igual a cero?

Question

Después de leer este párrafo:

Una versión más simple de esta distinción podría ser más agradable: dar la vuelta a un moneda infinidad de veces. La probabilidad de que voltear a los jefes de cada el tiempo es cero, pero no es imposible (al menos, no más imposible que lanzar una moneda infinitamente muchas veces, para empezar!).

A partir de aquí: Es generalmente aceptado que si usted lanza un dardo a un número de línea que usted NUNCA llegará a un número racional?

Me dije a mí mismo, ¿por qué es que la probabilidad de salir cara cada vez de cero? Si tenemos una moneda perfecta y nos voltear dos veces obtenemos la probabilidad de que la igualdad de esto:

$$\frac 12 \times \frac 12 = \frac 14$$

o para cuatro tirones obtenemos esto:

$$\frac 12 \times \frac 12 \times \frac 12 \times \frac 12 = \frac 1{16}$$

Así como nos acercamos a una infinita cantidad de tiradas de la moneda, la probabilidad se hace más pequeño y más pequeño, pero nunca debe llegar a cero, por lo que la probabilidad no debe ser cero, debería ser $1/+\infty$. ¿Significa esto que la $1/+\infty$ es igual a cero o he entendido mal la pregunta?

Answer 1

Algunas de las respuestas que hasta ahora han afirmado que no es posible dar sentido a lanzar una moneda infinidad de veces. En matemáticas, esto no es cierto, no es un perfectamente definido por el modelo matemático (un espacio de probabilidad) de lo que significa una moneda infinidad de veces. Este modelo tiene las siguientes propiedades:

• Se asigna una probabilidad, que es un no-negativo número real, a diversos conjuntos de posibles secuencias infinitas de tiradas de la moneda. (Hay tecnicismos y sutilezas en torno a la cuestión de lo que establece tienen bien definidas las probabilidades de que no son pertinentes a esta pregunta).
• Esta asignación $\mu$ tiene la propiedad de que la probabilidad de que una secuencia infinita de tiradas de la moneda comienza con la secuencia de tiradas de la moneda de la longitud de la $N$$\frac{1}{2^N}$.
• Esta asignación $\mu$ también tiene la propiedad de que si $S$ es un conjunto de secuencias de tiradas de la moneda y $T$ un conjunto de secuencias de tiradas de la moneda que contiene $S$,$\mu(S) \le \mu(T)$. (Esta es una propiedad general de las medidas.)

A partir de ello, la probabilidad de sólo voltear cabezas está determinada únicamente: es en la mayoría de la probabilidad de un tirón $N$ jefes de primera para cada entero positivo $N$ (de modo que en la mayoría de las $\frac{1}{2^N}$), y es un no-real negativo. La única que no es real negativo con esta propiedad es $0$ por el de Arquímedes de la propiedad de los reales. Por lo que la probabilidad de sólo voltear cabezas deben ser $0$.

Uno puede pensar de este argumento como calcular un límite a través de la monotonía teorema de convergencia para los juegos, pero es la informática algo ligeramente más básicas, a saber, un infimum. En cualquier caso, $\frac{1}{\infty}$ no es una probabilidad, ya que no es un número real.

Answer 2

Creo que estás confundiendo "igual" con el concepto de límite. En matemáticas uno define el límite de una secuencia a ser un número determinado, si el resultado es "más cerca", a continuación, cualquier desviación de ese número.

En tu ejemplo, la probabilidad de lanzar cabezas $N$ veces es $2^{-N}$. Para cualquier pequeña desviación de cero $\epsilon$ podemos encontrar una $N$ que $2^{-N} < \epsilon$. Por lo tanto, es correcto afirmar:

El límite de la probabilidad de lanzar cabezas $N$ veces $N$ va a el infinito es cero

Esto es a menudo incorrectamente abreviado:

La probabilidad de salir cara cada vez es cero

La razón de que esta última afirmación es incorrecta, es simplemente porque la probabilidad de salir cara "en cada momento" es simplemente sin definir sin definir primero lo que quieres decir con "en cada momento". Esto es exactamente por qué necesitamos la definición más formal de límite.

Answer 3

No se puede voltear una moneda un número infinito de veces. La probabilidad de una secuencia de coin flips siempre cediendo 0, viene como una extrapolación de darle la vuelta a la moneda de un número finito de veces. La probabilidad de "0" indica aquí un límite no se trata de una frecuencia. Estoy de acuerdo en que tal podría trabajar mejor como (1/+inf), pero eso NO implica que (1/+inf)=0, dado que (1/+inf) NO es un número. Que el infinito positivo a qué te refieres cuando escribes "+inf"? Podríamos decir que esta probabilidad es igual a un infinitesimal, y dudo que algún verdadera objeción a que existen (sólo las personas que se oponen a la no-cero infinitesimals sería objeto, creo).

Answer 4

La respuesta a tu pregunta está disponible en esta página de la wiki. En particular, consulte la sección sobre lanzar una moneda.

La explicación a tu pregunta es la convergencia. Realmente no estamos considerando la posibilidad de $1/\infty$, pero en lugar de la secuencia de $1/n$$n \rightarrow \infty$.

Answer 5

Si usted está interesado en ampliar el número de sistema de los números reales, los números complejos), entonces es posible que desee pensar acerca de la surrealista números. En los números reales, tenemos la siguiente declaración: "El límite de $1/x$ $x$ enfoques infinito es cero". Este no es el mismo que $1/\infty=0$, por las razones expuestas en las respuestas anteriores. Sin embargo, en el surrealista números, tenemos muchos más números: los números reales, diversos infinito cardinalidades, y infinitesimal e incluso las raíces cuadradas de estos. En el surrealista números de la pregunta debe ser revisada: es su un número infinito cuyo recíproco es cero. La respuesta es no. El recíproco de un número infinito es un infinitesimal.