Un grupo de indecomposability pregunta.

Question

Bastante seguro de que es imposible si todo es finito, $|G_i|$ debe ser un primo o una potencia de un primo, entonces LHS y RHS tienen diferentes tamaños de grupo o tienen diferente número de elementos de un orden en particular. Yo no sé acerca de la infinidad de casos, se siente como que podría no ser cierto en algún caso especial. Necesita ayuda, por favor.

Answer 1

Esta pregunta se responde en el Teorema de la 90.1 de Infinito Abelian Grupos (Vol II) por L. Fuchs, lo que demuestra que, para cualquier $n\geq 2$, hay un número finito de rango abelian grupo que es la suma directa de dos indecomposable grupos y de $n$ indecomposable grupos.

Para el caso de $n=3$, un ejemplo que puede ser extraído de la general es el teorema de la siguiente manera. Todos los grupos serán los subgrupos de $\mathbb{Q}^4$.

$G_1$ es generado por los elementos $\left(\frac{2}{5^s},0,\frac{1}{5^s},0\right)$, $\left(0,\frac{2}{7^t},0,\frac{1}{7^t}\right)$ para todos los $s,t>0$$\left(0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

$G_2$ es generado por los elementos $\left(\frac{3}{5^s},0,\frac{1}{5^s},0\right)$, $\left(0,\frac{3}{7^t},0,\frac{1}{7^t}\right)$ para todos los $s,t>0$$\left(0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$.

$G_3$ es generado por los elementos de a $\left(\frac{1}{5^s},0,0,0\right)$ todos los $s>0$.

$G_4$ es generado por los elementos de a $\left(0,\frac{1}{7^t},0,0\right)$ todos los $t>0$.

$G_5$ es generado por los elementos $\left(0,0,\frac{1}{5^s},0\right)$, $\left(0,0,0,\frac{1}{7^t}\right)$ para todos los $s,t>0$$\left(0,0,\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right)$.

Es sencillo comprobar que $G_1\oplus G_2=G_3\oplus G_4\oplus G_5$. Fuchs cita un teorema de antes en el libro para demostrar indecomposability en la declaración más general que él nos da, pero probablemente no es demasiado difícil de verificar directamente en este ejemplo concreto.