Matriz exponencial: $e^A\ge 0\iff a_{ij}\ge 0$ al $i\neq j$

Question

Deje $A$ $n$ $n$ matriz. Demostrar que ese $$a_{ij}\ge 0 \text{ whenever }i\neq j\iff e^A\text{ has all entries }\ge 0.$$

Me gustaría tan solo una sugerencia, por ahora, por favor.

Answer 1

Desde $e^A=e^{-kI}e^{A+kI}$, el delantero implicación es trivial si se considera la expansión de la serie de $e^{A+kI}$ para suficientemente grande $k>0$ (de modo que $A+kI$ es entrywise no negativo).

El retroceso implicación es falsa. Deje $J$ $3\times3$ Jordania bloque correspondiente al autovalor cero y deje $A=I+J-\varepsilon J^2$ para algunos pequeños $\varepsilon>0$. A continuación, el $(1,3)$-ésima de a$A$$-\varepsilon<0$, pero $$ e^A=e^Ie^Je^{-\varepsilon J^2}=e\left(I+J+\frac12J^2\right)(I-\varepsilon J^2) =e\left[I+J+\left(\frac12 - \varepsilon\right) J^2\right] $$ es entrywise no negativo.

Answer 2

Ya hay un contra-ejemplo por user1551, pero aquí es aún más simple.

Si nos vamos a $$A=\left[\matrix{0&1\\-1&0}\right],$$ a continuación, $e^{\theta A}$ gira el cepillo a un ángulo de $\theta$. Introduce $\theta=2\pi$ y consigue $e^{2\pi A}=I$ donde $I$ es la matriz identidad, que no tiene elementos negativos.