¿Cuando es el producto de los subgrupos de $n$ un subgrupo?

Question

Deje de $G$ ser de cualquier grupo. Es bien conocido el resultado de que si $H, K$ son subgrupos de $G$, entonces $$ HK es un subgrupo si y sólo si $HK = KH$.

Ahora, siempre me he preguntado acerca de una generalización de este resultado, algo a lo largo de las líneas de:

Teorema: Si $H_1, \ldots, H_n$ son subgrupos de $G$, entonces $H_1H_2\dots{H_n}$ es un subgrupo si y sólo si ($\estrella$) sostiene, donde $(\estrella)$ es una condición en $H_1, \ldots, H_n$, preferiblemente relacionados con cómo los pequeños productos de $H_{m_1}\ldots{}H_{m_k}$, $k < n$, se comportan.

Pregunta 1: ¿existe un teorema?

Sí sé, y es muy fácil de demostrar, que si $H_iH_j = H_jH_i$ por cada $i, j$, entonces la gran producto es un grupo, pero esto no es satisfactorio, ya que es lejos de ser necesarias (tomar sólo uno de los grupos será de $G$, y usted no necesita ninguna conmutatividad). También, me han dicho que no hay realmente una respuesta satisfactoria; si ese es el caso, entonces mi pregunta sería ¿por qué? En particular:

Pregunta 2: ¿hay realmente problemático contraejemplos donde se puede ver que el comportamiento de los productos de menor tamaño no tiene nada que ver con la gran producto, por lo que no hay un teorema puede existir?

Agradecería incluso una respuesta para el caso particular $n = 3$.

Gracias.

Answer 1

Parece que su deseado teorema tendría este aspecto: Si $a, B, C$ son subgrupos de $G$, entonces $a B C$ es un subgrupo de ffi $\Phi_1(a,B)\de la tierra\Phi_2(B,C)\de la tierra\Phi_3(C,A)$ (donde $\Phi_i$ es algunos predicado en dos variables).

Echemos un vistazo a $\Phi_1$ primero. Claramente, "$\Phi_1(a,B):\iff AB\mathrm{\ es\ a\}$" sería demasiado fuerte. Por lo tanto $\Phi_1(a,B)$ puede ser cierto en los casos wheer $AB$ no es un grupo. Pero, ¿cómo puede $B$ no ser un grupo? No hay $x\in B$ con $x^{-1}\noen AB$ o se $x,y\in AB$ con $xy\noen AB$. Por $ABC$ a ser un grupo debe existir una $z\in AB$ tales que $x^{-1}=z c$ o $x y = z c$ $c\in C$, respectivamente. Todos los compuestos en $ABAB$, todos los inversos son en $BA\subseteq ABAB$, por lo tanto necesitamos $ABAB\subseteq ABC$. Menos de $ABAB\subseteq AB$ i.e menos que $AB$ es un grupo), esta condición depende claramente de $C$.

Por lo tanto, $\Phi_1$ no puede existir.

El mismo argumento se aplica a $\Phi_2$ y con ligeras modificaciones para $\Phi_3$. También se podría argumentar, simplemente, que para los subgrupos de $X, Y$ que $XY$ no es un grupo, tenemos que $XYG$, $XGY$ y $GXY$ son los grupos, por lo tanto, todo $\Phi_i(X,Y)$ debe de ser verdad. Pero $XY1$, $X1Y$ y $1XY$ no son los grupos, de ahí que algunos $\Phi_i$ con un argumento $=1$ debe ser falsa. Pero eso no puede ser porque un producto en el que dos factores son los triviales grupo es un grupo.

Answer 2

Un problema que podría tener es que si uno de los subgrupos es un subgrupo normal, luego se conmuta con los demás de forma automática. Usted probablemente necesita una condición que tiene al menos una condición de la participación de cada par de subgrupos. No estoy seguro de si eso es realmente suficiente. Si usted también incluir algo como que también tienen condiciones que no incluye 1,2,3,etc. subgrupos, entonces usted puede conseguir la respuesta deseada por inducción.

Finalmente, aquí está relativamente generales de ejemplo para mostrar que, en el caso de $n=3$ usted necesita los tres conmutaciones:

Vamos a $N\subconjunto G$ ser un subgrupo normal y $H\subconjunto G$ un subgrupo tales que $N\cap H=1$. Ahora vamos a $A,B\subconjunto H$ se subgrupos tales que $a\cap B=1$ y $AB\neq BA$ pero $H$ es generada por $A$ y $B$ juntos. Finalmente, suponga que $A,B$ y $N$ son finitos.

Desde $N$ es normal, $NA=$ y $NB=BN$. Ya que todos ellos son finitos y de a pares distintos, $$|NAB|=|N|\cdot |A| \cdot |B|,$$ pero desde $AB\neq BA$ es no un subgrupo, y por lo tanto, $$|A| \cdot |B|\lneq |H|,$$ para $$|NAB| \lneq |N|\cdot |H| = |NH|.$$ Sin embargo, desde el $A$ y $B$ a generar $H$ de ello se sigue que el subgrupo generado por a $a,B$ y $N$ es $NH$, que tiene más elementos de los que $NAB$ hace y por lo tanto $NAB$ no puede ser un subgrupo.