Esto es cómo he resuelto:
primero he utilizado la sustitución de $x+1 = t^2 \Rightarrow dx=2tdt$
de manera integral se convierte en $I=\int \frac{t+2}{t^4-t}2tdt = 2\int \frac{t+2}{t^3-1}dt =2\int\frac{t+2}{(t-1)(t^2-t+1)}dt $
usic parcial fracción de descomposición tengo:
$\frac{t+2}{(t+1)(t^2-t+1)}=\frac{A}{t+1} + \frac{Bt+C}{t^2-t+1}=\frac{At^2-At+A+Bt^2+Bt+Ct+C}{(t+1)(t^2-t+1)}$
a partir de aquí, tenemos que $A=\frac{1}{3} , B=-\frac{1}{3}, C=\frac{5}{3}$
de manera integral se convierte en $I=\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t+1}-\frac{1}{3}\int\frac{(t-5)dt}{t^2-t+1} = \frac{1}{3}ln|t+1|-\frac{1}{3}I_1 $
Ahora, para el $I_1$
$I_1=\int\frac{(t-5)dt}{t^2-t+1} = \int\frac{tdt}{t^2-t+1} - \int\frac{5dt}{t^2-t+1}= \frac{1}{2}\int\frac{2t+1-1}{t^2-t+1}dt - 5\int\frac{dt}{t^2-t+1}=\int\frac{2t+1}{t^2-t+1}dt - \frac{9}{2}\int\frac{dt}{t^2-t+1}= ln|t^2-t+1|-\frac{9}{2}I_2$
Ahora, para $I_2$
$I_2=\int\frac{1}{t^2-t+1}dt= \int\frac{1}{t^2-t+\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}dt= \int\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dt=\frac{4}{3} \int\frac{1}{(\frac{2t+1}{\sqrt{3}})^2 + 1}dt$
Ahora, podemos utilizar la sustitución:
$\frac{2t+1}{\sqrt{3}}=z \Rightarrow dt=\frac{\sqrt{3} dz}{2}$
Por lo tanto tenemos:
$I_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\int\frac{dz}{1+z^2} =\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan z $
Ahora, volviendo a $I_1$
$I_1=ln|t^2-t+1|-3\sqrt{3} \arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}}$
y si nos remontamos a $I$
$I=\frac{1}{3}ln|t+1|-\frac{1}{3} ln|t^2-t+1|-\sqrt{3} \arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}}$
en términos de $x$
$I=\frac{1}{3}ln|\sqrt{x+1}+1|-\frac{1}{3} ln|x+2-\sqrt{x+1}|-\sqrt{3} \arctan \frac{2\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{3}}$
Sin embargo, en mi libro tengo una solución diferente, pero no puedo encontrar ningún error aquí, alguna ayuda?
