Si la generación de la función suma y zeta regularización de la suma de un divergentes que existen, ellos no siempre coinciden?

Question

Uno podría asignar un valor a divergentes de la serie por medio de la suma de varios métodos. Una suma método que podemos considerar es la generación de la función de método. Vamos suma, por ejemplo, la serie de fibonacci por medio de este método. Consideramos que la generación de la función de la serie de fibonacci: $$ g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} x^{n}, $$ in which the $n$'th Fibonacci number is defined as: $f_{n} = f_{n-1} + f_{n-2} $ and $f_{0} = 0 $ and $f_{1} = 1$. In the following wikipedia article it is explained (amongst many other things) that it is possible to find a closed-form for $g$: $$g(x) = \frac{x}{1-x-x^2} . $$ Therefore, we could state that the divergent series summation by means of the generating function summation method $G$ amounts to taking the following limit: $$ G \Big{(} \sum_{n=1}^{\infty}f_{n} \Big{)} = \lim_{x \to 1} g(x) = -1 . $$ Podríamos, también se intenta asignar un valor a la suma de todos los números de Fibonacci por medio de la función zeta de regularización. Una forma cerrada de la función $$ z(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}^{-x} $$ can be found in equation $(5)$ of the following paper by Navas. (Who mistakenly asserts that he is finding the analytic continuation of the Fibonacci Dirichlet series. He is actually doing zeta funtion regularization of the Fibonacci series. The two methods are confused quite often, though.) He finds that $$ z(x) = 5^{s/2} \sum_{k=1}^{\infty} \binom{-x}{k} \frac{1}{\phi^{x+2k} + (-1)^{k+1} } . $$ The zeta regularized sum $R$ of the Fibonacci series is therefore $$ R \Big{(} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} \Big{)} = \lim_{x \to -1} z(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \Big{(} \frac{1}{\phi^{-1} -1} + \frac{1}{\phi + 1} \Big{)} = -1 .$$ We have thus found that the generating function summation and the zeta regularized sum of the Fibonacci series coincide (define $F := \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} )$ : $$ G(F) = -1 = R(F) .$$ Esto no siempre sucede, sin embargo. Si definimos la suma de números naturales $ N = \sum_{n =1}^{\infty} n $, $G (N) $ no existe. Esto es debido a que la correspondiente generación de la función de las cantidades a $$ p(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{1}{ (1-x)^{2} } , $$ for which $\lim_{x \to 1 } p(x) $ does not exist. The zeta regularized sum does exist, however. We have the notorious equation $R(N) = - \frac{1}{12} $ (ver esta página).

Pregunta (1) es ahora: ¿el $G$ $R$ sumatoria de los métodos de una divergentes de la serie siempre coinciden, si ambos métodos conducen a un número finito de que pueden ser asignados a la divergencia de la serie en la mano?

Pregunta (2): hay una forma cerrada de la real de continuación analítica de Fibonacci de la serie de dirichlet $ d(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ f_{n} }{ n^{x} } $ ?

Bono pregunta: ¿hay alguna referencia para las colecciones de la generación de la función de expansión, zeta función analítica continuaciones y analítica de las continuaciones de dirichlet de la serie? Para el primer grupo de funciones no es el libro Generatingfunctionology por Wilf, pero no puedo encontrar ninguna gran resumen de documentos/libros/artículos en los dos últimos grupos de funciones.

Answer 1

Es solo una idea.
El zeta-función tiene un laurent-serie-representación como una suma del término $$\zeta_a(x)=-{1\over1-x}$$ and of the series $$\zeta_b(x) = 1/2 + 0.081x-0.0031x^2+... = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k$$ tal que $$\zeta (x)=\zeta_a(x)+\zeta_b(x)$$ Si recuerdo correctamente, la serie $\zeta_b(x)$ es todo - esto significa, que en el caso de los argumentos de la $x$ cuando la zeta se convierte divergentes, la parte divergente es totalmente comido por la $\zeta_a(x)$ parte - y el comportamiento de la serie geométrica es completamente aceptado como normal, incluso en el divergentes de los casos, por la expresión como fracción ${1\over1-x}$, con la sola excepción del caso en que $x=1$.

Esto no es una prueba de la identidad de la zeta-regularización y el poder de la serie/generación de función, pero no muestra, al menos, una fuerte relación formal barco: el zeta -incluso en el divergentes de los casos como formal de la suma de dos powerseries regularmente computable - y el poder de la serie de la generación de la función.
Creo que alguien con más formal que de fondo podría ser capaz de poner este dos cosas juntas.