Ser el factor determinante de esta matriz

Question

Tenemos una $n\times n$ matriz cuadrada $\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i\leq n, \ 1\leq j\leq n}$ tal que todos los elementos de la diagonal principal son cero, mientras que los otros elementos se definen de la siguiente manera:

$$a_{i,j}=\begin{casos} 1,&\text{si } i+j \text{ pertenece a los números de Fibonacci,}\\ 0,&\text{si } i+j \text{ no pertenece a los números de Fibonacci}.\\ \end{casos}$$

Sabemos que cuando $n$ es impar, el determinante de esta matriz es cero.

Probar ahora que cuando $n$ es, incluso, el determinante de esta matriz es de $0$ o $1$ o $-1$. (El uso de la inducción u otros métodos).

También publicado en MO.

Answer 1

Esto es sólo una respuesta parcial, demasiado largo para caber en un comentario, por escrito, a fin de iniciar la recopilación de ideas.

Tenemos: $$\det a=\sum_{\sigma\en S_n}\operatorname{signo}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},$$ por lo tanto el aporte de cada permutación en $S_n$ pertenece a $\{-1,0,1\}$. En particular, la de contribuir de una permutación difiere de cero iff $i+\sigma(i)$ pertenece a la secuencia de Fibonacci por cada $i\in[1,n]$. Si tenemos en cuenta el ciclo de descomposición de un $\sigma$: $$\sigma = (n_1,\ldots, n_j)\cdot\ldots\cdot(m_1,\ldots, m_k)$$ esta condición da que $n_1+n_2,\ldots,n_j+n_1,\ldots,m_1+m_2,\ldots,m_k+m_1$ pertenecen a la secuencia de Fibonacci, por lo tanto, si el aporte de $\sigma$ difiere de cero, el aporte de $\sigma^{-1}$ es la misma.

Sin embargo, no muchas permutaciones cumplir con la condición. Por ejemplo, la única manera posible de puntos fijos de la contribución de las permutaciones son la mitad de los números de Fibonacci, por lo tanto los números de la forma $\frac{1}{2}F_{3k}$:$1,4,17,72,\ldots$.

Por otra parte, los elementos de $[1,n]$ pueden ser dispuestos en un gráfico de $\Gamma$ en el que el barrio de un nodo con etiqueta $m$ es de los enteros en $[1,n]$ cuya suma de $m$ es un número de Fibonacci, es decir, todas las posibles imágenes de $\sigma(m)$ para un contribuyente en la permutación.

Para istance, para $n=5$:

tenemos (aparte de la auto-bucles en $1$ y $4$) un gráfico acíclico. La única contibuting permutación es $\sigma=(1 2)(3 5)(4)$, por lo tanto $|\det a|=1$. Cuando $n=6$ o $n=7$ el barrio de $5$ es todavía de sólo uno de los elementos:

Cuando $n=7$ la contribución de las permutaciones son de la forma $\sigma=(4)(3 5)\tau$, donde $\tau\en\{(1,2,6,7),(1,7,6,2),(1,2)(6,7),(1 7)(6 2)\}$, por lo tanto $\det a=0$.

En general, el barrio de el mayor número Fibonacci $F_k\leq n$ es de $F_{k-1}$ única, por lo tanto $F_k$ siempre está vinculado con $F_{k-1}$ en una transposición de cada contribuyendo de permutación.

Ahora, yo creo que la conjetura de $\det a\in\{-1,0,1\}$ fuertemente correlacionada con la estructura de los ciclos en $\Gamma_\mathbb{N}$, un gráfico con más de $\mathbb{N}$, donde dos enteros están conectados cuando su suma es un número de Fibonacci.

Hay muchos triviales ciclos en $\Gamma_\mathbb{N}$: $$(k,F_m-k),\quad (k,F_m-k,F_{m+1}+k,F_{m+2}-k),\quad (k,F_m-k,F_{m+1}+k,F_{m+2}-k,F_{m+3}+k,F_{m+4}-k),\ldots$$ y mi reclamo es que todos los ciclos han longitud, y todos los ciclos son del tipo dado. Dado que $F$ es el conjunto de todos la serie de números, es sencillo demostrar que los únicos elementos de $F-F$ representado dos veces son los números de Fibonacci, por lo tanto no hay ciclos de longitud $3$ en $\Gamma_\mathbb{N}$.