Express $\int^1_0x^2 e^{-x^2} dx$ en términos de $\int^1_0e^{-x^2} dx$

Question

(Disculpas, este fue inicialmente incorrectamente publicado en mathoveflow)

En el MIT 18.01 preguntas de práctica para el Examen 4 problema 3b (enlace de abajo), se nos pide para expresar $\int^1_0x^2 e^{-x^2} dx$ en términos de $\int^1_0e^{-x^2} dx$

Entiendo que esto debe implicar el uso de la integración por partes, pero la solución dada no mostrar el trabajo y no soy capaz de obtener la misma respuesta independientemente de cómo configurar la integración.

Enlace a la práctica del examen:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/exams/prexam4a.pdf

Answer 1

Sugerencia: $x^2 e^{-x^2} = x ( x e^{-x^2})$ y el segundo factor es un derivado.

Answer 2

Sugerencia: Considere la posibilidad de integración por partes de $\int_0^1 {e^{ - x^2 } 1 \, dx}.$

Editar: $$ \int_0^1 {e^{ - x^2 } 1 \,dx} = e^{ - x^2 } x|_0^1 - \int_0^1 {e^{ - x^2 } ( - 2x)x \,dx} = e^{ - 1} + 2\int_0^1 {x^2 e^{ - x^2 } \,dx} . $$