la incorporación de la $\mathbb{RP}^2$ $\mathbb{R}^4$

Question

Considerar el clásico mapa $$F:\mathbb{RP}^2\rightarrow \mathbb{R}^4$$ definido por $$F[x,y,z]=(x^2-y^2,xy,xz,yz)$$. Esto define un suave incorporación de la $\mathbb{RP}^2$$\mathbb{R}^4$. Claramente, es un topológica de la incrustación.

Ahora, ¿cuál es la mejor manera de mostrarle el mapa es una inmersión? Podemos calcular $DF$ y observe que la matriz tiene rango 2, pero hay una intuitiva geométricas manera de mostrar que este topológico de la incrustación es en realidad una inmersión?

Answer 1

El siguiente es esencialmente la misma cosa como la comprobación de que el Jacobiano tiene rango 2, pero la reinterpretación que puede hacer mucho más fácil.

Considere la posibilidad de $S^2$ como un subconjunto de a $\mathbb C \times \mathbb R$ e identifique $\mathbb C^2 = \mathbb R^4$.

A continuación, considere el mapa de $G: \mathbb C\times \mathbb R \to \mathbb C^2$$G(z,r) = (z^2, rz)$. La restricción $G|_{S^2}$ de este mapa (casi) desciende a su $F$. Ahora usted puede utilizar para comprobar que $G$ es una inmersión, lo que implica que $F$ es una inmersión. Pero eso es fácil, porque

$$dG(z,r) = \begin{pmatrix} 2z & 0 \\ r & z \end{pmatrix}$$

y $z$ $r$ no puede ser del 0 al mismo tiempo. (Tenga en cuenta que $dG$ actúa sobre vectores $(\zeta, \rho)$ con $\zeta \in \mathbb C$, $\rho\in \mathbb R$)