Si $K \leq H \leq G$, muestran que $[G:K] = [G:H][H:K]$.

Question

Esto no es para hacer la tarea. (Estoy un grado de una clase).

En el caso en que $G$ es finito es trivial. (Es decir, utilizar un corolario del Teorema de Lagrange, y establecer $[G:H] = \dfrac{|G|}{|H|}$, y del mismo modo para $[H:K]$.) ¿Cómo se puede demostrar esto para cuando $G$ es infinito?

La prueba de esta afirmación que bien sé que intenta mostrar que $[G:K]$ es finito iff $[G:H]$ $[H:K]$ son finitos, pero yo no soy un fan de la prueba. Finalidades pedagógicas, estoy en busca de una mejor prueba. (El curso utiliza derecho cosets por convención).

El curso acaba de empezar cubriendo normal subgrupos, así que cosas como los Teoremas de Isomorfismo todavía no son conocidos.

Answer 1

Mostraremos que existe un bijection entre el$(H\backslash G)\times(K\backslash H)$$K\backslash G$. Deje $(a_i)_{i\in I}$ ser una colección de los representantes de los elementos de $H\backslash G$ $(b_j)_{j\in J}$ una colección de representantes para los elementos de $K\backslash H$. Definir $\phi:(H\backslash G)\times(K\backslash H)\to K\backslash G$ por $$ \phi(Ha_i,Kb_j)=Kb_ja_i. $$ Deje $Kc\in K\backslash G$. A continuación, $Kc\subset Ha_i$ para algunos únicas $a_i$ desde $K\leq H$, lo $c=ha_i$ para algunos (también claramente únicas dado un $a_i$) $h\in H$. También tenemos que $Kh=Kb_j$ para algunos únicas $b_j$, lo $Kc=Kb_ja_i=\phi(Ha_i,Kb_j)$, y esta elección de $(Ha_i,Kb_j)$ es único para un determinado $Kc$. Por lo tanto, $\phi$ es un bijection y $$ [G:K]=[G:H][H:K]. $$ Esta prueba se formaliza Aarón comentario acerca de romper cada coset en más finos cosets.

Answer 2

Definición. Deje $G$ es un grupo y $H\le G$. El conjunto $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq G$ se llama izquierda oblicua conjunto, si todos los de la izquierda cosets $x_iH$ son distintos e $G=\bigcup_{i\in I}x_iH$.

Supongamos $\{x_i\}_{i\in I}$ es una izquierda oblicua conjunto de $K$ $H$ $\{y_j\}_{j\in J}$ es una izquierda oblicua conjunto de $H$$G$. Así que tenemos $H=\bigcup_{i\in I}x_iK$$G=\bigcup_{j\in J}y_jH$, lo que implica que $$G=\bigcup_{j\in J}y_jH=\bigcup_{j\in J}y_j\left(\bigcup_{i\in I}x_iK\right)=\bigcup_{j\in J,i\in I}y_jx_iK$$ Por lo tanto, $\left\{y_jx_iK\right\}_{i\in I,j\in J}$ es una partición de a $G$ para el conjunto de la izquierda cosets de $K$$G$. Ahora puedo probar estos cosets son distintos. Si $y_jx_iK=y_rx_sK$, $\color{red}{y_jx_i=y_rx_sk}$ cualquier $k\in K$. Desde $K\subseteq H$, de modo que $k\in H$, y también desde $x_i,x_s \in H$,$y_r^{-1}y_j=x_skx_i^{-1}\in H$. Ahora, por definición, de izquierda oblicua conjunto debemos tener $r=j$, lo que implica que $\color{red}{x_i=x_sk}$. Esto implica que $x_s^{-1}x_i\in K$ y una vez más, por definición, tenemos $s=i$. Por lo tanto, todos de $y_jx_i$'s son distintos.