Estoy mirando problema $13.7$ en Apostol del Análisis Matemático.
Deje $D=\{|z|<1\}$ y deje $f=u+iv$ ser tal que
$(\rm i)$ $u,v\in{\mathcal C}^1(D)$
$(\rm ii)$ $f$ es continua en a $\overline D$
$(\rm iii)$ $f(z)=z$ en $\partial D$.
$(\rm iv)$ $J_f(z)>0$ si $z\in D$.
Mostrar que
$(1)$ Para cada abierto $\Omega\subseteq D$, $f(\Omega)$ está abierto en $f(D)$.
$(2)$ $f(D)$ es una bola abierta de radio $1$.
$(3)$ Por cada $w\in f(D)$, $D\cap f^{-1}(w)$ es finito.
Sólo he probado $(1)$:
PROOF1 Desde $u,v$ son de clase $\mathcal C^1$$D$, por lo que es $f$, y dado que el Jacobiano no se desvanecen, el teorema de la función inversa se dice que por cada $z\in D$ existe un abierto nbhd $N_z$ tal que $f\mid_{N_z}$ es un diffeomorphism de clase $C_1$, lo $f\mid_{N_z}$ es un homeomorphism, por lo que es un mapa. Deje $\Omega\subseteq D$ ser abierto, y elija $z\in\Omega$. Entonces existe $N_z$ anterior. Deje $\widetilde N_z=N_z\cap \Omega$. Esto está abierto y se encuentra dentro de$N_z$, por lo que su imagen en $f\mid_{N_z}$ está abierto por la anterior. A continuación, $f(\Omega)=f(\Omega)\cap f(D)=\bigcup_{z\in\Omega}f\left(N_z\right)\cap f(D)$ es la intersección de la unión de bloques abiertos con $f(D)$, por lo que está abierto en $f(D)$. $\blacktriangle$.
PROOF2 Supongamos que $f(D)\not\subseteq D$. Entonces, ciertamente,$f(\bar D)\not\subseteq \bar D$. Por lo tanto, existe $q\in\bar D$ tal que $|f(q)|>1$. Pero $|f|$ es continua en el compacto $\bar D$, por lo que alcanza su máximo en algunos $p\in\bar D$. Pero no podemos tener a $p\in\partial D$ desde tendríamos $|f(p)|=1$, por lo que debe ser el caso de $p\in D$. Deje $K=\overline B$ donde $B=B(0,r)\; ;\; r=|f(p)|$. A continuación,$f(\bar D)\subseteq \bar B$, e $f(p)\in\partial B$. Deje $N_p$ libre nbhd de $p$$D$. Entonces vemos a $f(N_p)$ no está abierto en el $f(D)$, contrario a lo que fue comprobado en $(1)$. De ello se desprende que $f(D)\subseteq D$.
PROOF3 Supongamos que por el bien de la contradicción que existe $w\in f(D)=D$tal que $D \cap f^{-1}(w)$ es infinito. Dado que este es un subconjunto de la compacta $\bar D$, debe tener un punto de acumulación en $\alpha \in \bar D$. Supongamos primero que $\alpha\in D$. A continuación, para cada una de las $\epsilon >0$ el balón $B(\alpha;\epsilon)$ contiene una infinidad de puntos de $\{z\in D:f(z)=w\}$, en contradicción con el hecho de $f$ es un local diffeomorphism en $\alpha$. Supongamos $\alpha\in \partial D$. A continuación,$f(\alpha)=\alpha$, y por la continuidad, $f(\alpha)=w$, lo cual es absurdo, ya que $D\cap\partial D=\varnothing$. $\blacktriangle$.
Capítulo $13$ es "funciones Implícitas y del extremo de problemas". No estoy seguro de lo teoremas a utilizar para probar $(2)$, y no he pensado en $(3)$, así que voy a preocuparse $(3)$ más tarde. Yo quiero probar $(2)$ ahora. Cualquier sugerencias?
AGREGAR Si $A$ es cualquier conjunto, $\partial A$ denota su límite y $\overline A$ de su cierre.
