Irracional$^\text{Irrational}$

Question

¿Cómo puedo calcular $\text{(irrational)}^{\text{(irrational)}}$ hasta un número de decimales decir m, de la manera más rápida ? (una forma es, por supuesto, calcular los números irracionales con una precisión mucho mayor que m y, a continuación, resolver... pero nunca se sabe cuánto exceso de m será necesario para calcular la irrationals.. )

Answer 1

Este es un desarrollo posterior de las ideas de Doug Spoonwood y phv3773.

Exponenciación $a^b$ es una función continua, en ambos argumentos, por lo que podemos utilizar "intervalo de métodos" para calcular un número para cualquier precisión deseada. Ahora supongo que sólo están interesados en los números reales, por lo que supongo que puede asumir $a>0$, y desde $a^{-b}=1/a^b=(1/a)^b$, también podemos restringir nuestra atención a$a>1$$b>0$. Para fija $b>0$, $a^b$ (la función de potencia) es estrictamente creciente en función de $a\in(0,\infty)$, y para fija $a>1$, $a^b$ (una función exponencial) es estrictamente creciente para $b\in\Bbb R$.

Ahora supongamos $a\in[a_-,a_+]$$b\in[b_-,b_+]$. En su aplicación, esto correspondería a haber calculado el irrationals $a$ $b$ a algunos de precisión, y $a_-,a_+$ son sus racional de los límites superior e inferior en el número que ha calculado. (Por ejemplo, si tengo que calcular $a=\pi\approx3.14$ a que el número de dígitos de precisión, redondeada correctamente, a continuación,$a\in[a_-,a_+]=[3.135,3.145]$.) Debido a $a^b$ es creciente en ambos argumentos en la región de discusión, sé que $$a_-^{b_-}\le a_-^b\le a^b\le a_+^b\le a_+^{b_+}$$ and hence $a^b\in[a_-^{b_-},a_+^{b_+}]$. This is Doug's "interval exponentiation" (suitably simplified for the case when $>1$ and $b>0$).

Estos representan pesimista límites en el número que se calcula, sino que dan una garantía de que el número al que desea en realidad es en ese rango.

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Natural de la segunda pregunta relacionada a este proceso es que $a_-,a_+,b_-,b_+$ elegir. Si usted tiene un método eficaz para el cálculo de $a$ $b$ a lo que la precisión que usted necesita, entonces eso significa que usted puede exigir $a_+-a_-\le\delta$ $b_+-b_-\le\delta'$ con su elección de $\delta,\delta'$. Nuestro verdadero objetivo es conseguir que el rango de intervalo dentro de algunos $\epsilon$, es decir $a_+^{b_+}-a_-^{b_-}\le\epsilon$. Una buena estimación de lo $\delta,\delta'$ elegir puede ser determinado tomando las derivadas parciales de $a^b$ en el punto de aproximación:

$$(a+\alpha)^{b+\beta}\approx a^b+\alpha\frac\partial{\partial a}a^b+\beta\frac\partial{\partial b}a^b=a^b(1+\alpha \frac ba+\beta\log a)$$

(donde$|\alpha|\le\delta/2$$|\beta|\le\delta'/2$). Para buenas aproximaciones, queremos que estos dos términos de error para ser comparable a la una de la otra. Por lo tanto queremos que $\frac{\delta a}b\approx\frac{\delta'}{\log a}\approx\frac\epsilon2a^b$. (Me doy cuenta de que esto requiere el cálculo de $a^b$, pero esto es sólo una estimación y no tiene que ser muy precisa. La verdadera prueba es cuando usted calcula el $a_+^{b_+}$ $a_-^{b_-}$ y encontrar que la diferencia está dentro de sus límites de error. Si no lo es, acaba de cortar $\delta,\delta'$ en la mitad hasta).

Answer 2

En cuanto al número de decimales m, yo creo que debe ser posible crear un intervalo entre la parte superior e inferior aproximaciones utilizando los números racionales. A continuación, puede examinar cómo el intervalo entre la parte superior e inferior disminuye con más dígitos en el aproximaciones racionales.

Answer 3

Esto podría funcionar algo así como phv3773 la idea, probablemente esto funciona demasiado lento para lo que quieres, pero tal vez sea una buena idea. Primero como un ejemplo, considere la posibilidad de calcular el producto de dos irrationals. Podemos usar la parte inferior y superior de aproximaciones aquí. Si utilizamos inferior aproximaciones $l_1, l_2$, y superior aproximaciones $u_1, u_2$ a irrationals $1$$2$, tenemos $$[l_1, u_1]*[l_2, u_2]=[\min\{l_1l_2, l_1u_2, u_1l_2, u_1u_2\},\max\{l_1l_2, l_1u_2, u_1l_2, u_1u_2\}]$$ where $*$ denotes interval number multiplication. We have $$\max\{l_1l_2, l_1u_2, u_1l_2, u_1u_2\} - \min\{l_1l_2, l_1u_2, u_1l_2, u_1u_2\}\le n$$ for some nonnegative $n$. Now $1$ decimal place corresponds to $n\le.1$, $2$ decimal places to $n\le.01$, and so on. So, for $k$ decimal place precision we just need to find $l_1, l_2, u_1, u_2$ such that $n$ is less than or equal to $10^{-k}$. Usted no necesita saber lo que el irrationals son exactamente, usted sólo necesita saber que la irrationals se encuentran entre algunos de los números racionales.

Ahora, el intervalo de exponenciación, al igual que otros aritmética de intervalos de operaciones, si se puede hacer (si es que existe), se producirá un intervalo de números de $[a, b]$. Así, por $k$ precisión decimal sólo tenemos $n=b-a$ menos que o igual a $10^{-k}$.

Por desgracia, yo no sé cómo hacerlo intervalo de exponenciación. Así, tal vez se trata como una mejor idea de averiguar cómo funciona en los reales antes de intentar este método.

Answer 4

Como otros han sugerido, yo usaría $a^b=\exp(b \log a)$. En este caso, no hay nada especial acerca de la $a,b$ ser irracional. Si $b$ es racional, estamos probablemente en irrationals debido a que el denominador representa una raíz. Para conocer la exactitud, necesitamos estimar de qué manera precisa cada paso tiene que ser. Podemos tomar de los instrumentos derivados para evaluar este aspecto. En primer lugar tenemos a $a,b$ se conocen bastante bien. Tenemos $\Delta (a^b) \approx \frac {\partial (a^b)}{\partial b} \Delta a=a^b \log a \Delta b$ o el error relativo en $a^b$ es un factor de $\log a$ más grande que el error relativo en $b$. Si $a$ no es demasiado grande, un extra decimal o dos será suficiente. De manera similar por los errores en el $a$, $\Delta (a^b) \approx \frac {\partial (a^b)}{\partial a} \Delta a=b\cdot a^{(b-1)} \log a \Delta a$ así que si $b$ $a$ son de aproximadamente la misma magnitud, de nuevo un par de lugares que va a ser suficiente. Usted puede hacer lo mismo para los errores en su $\log$ $\exp$ funciones y la multiplica.