$Hom(S,-)$ es más exactamente un functor de alguna categoría (digamos, para simplificar el tema, los Conjuntos de Conjuntos. Esto significa que es una "función" que toma un conjunto y le da la espalda a un conjunto, y también una "función" que toma un morfismos de conjuntos (una función) y da vuelta una de morfismos de conjuntos. En este caso, el functor $Hom(S,-)$ lleva un conjunto $T$ y la que te da el set $Hom(S,T)$ de las funciones entre el$S$$T$, y se necesita una función de $f:T\rightarrow U$ y te devuelve una función de $Hom(S,f)=f\circ -:Hom(S,T)\rightarrow Hom(S,U)$.
Para responder a un comentario más abajo, puede ser más visual, mediante la elaboración de los siguientes conmutativa triángulo:
$$ \begin{array}{cccc}
& S & & \\
g& \downarrow & \searrow \\
& T & \xrightarrow{f} & U\\
\end{array} $$
Aquí la asignación de $Hom(S,f)$ toma como entrada la flecha vertical $g:S \to T$ y le da la diagonal de flecha a su derecha, que es solo la composición de la $f \circ g.$
Para responder a su segunda pregunta, $Hom(S,f)$ ser inyectiva significa que para cualquier par de asignaciones $g,g':S\rightarrow T$,$f\circ g = f \circ g' \implies g = g'$. En otras palabras, significa que $f$ es de izquierda cancellative, que significa exactamente eso $f$ es inyectiva (en la categoría de conjuntos).
Tenga en cuenta que una doble construcción le da un functor $Hom(-,T)$, que es contravariante. Esto significa que este functor invierte flechas: si la alimentación es una función $f:S\rightarrow U$, se da vuelta una función de $-\circ f:Hom(U,T)\rightarrow Hom(S,T)$.
