WolframAlpha parece decirme que $e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {e ^ i}}} = 1$, ver enlace. ¿Esto es sólo un error o es de verdad? Añadiendo una más $e$ en la parte inferior de la torre me da los $ $e número, por lo que es específico para del $e 11 $ que utilicé en la torre.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede fácilmente verificar esta utilizando un método independiente. Deje de $x_n + i y_n\in\mathbb{C}$ es el valor de una torre de $n$ copias de $e$, con una sola de $i$ en la parte superior, de modo que $x_{n+1}+iy_{n+1}=\exp(x_n+iy_n)$. Esto puede ser reescrita como $e^{x_n}\left(\cos y_n+i \pecado y_n\right)$, dando la recursividad $$ x_{n+1}=e^{x_n}\cos y_n,\qquad y_{n+1}=e^{x_n}\sin y_n. $$ Los valores de partida son $x_0=0$ y $y_0=1$. La evaluación de esta recursión numérica da la siguiente tabla: $$ \begin{eqnarray} (x_1,y_1) &=& (0.5403023058681398, &&0.8414709848078965) \\ (x_2,y_2) &=& (1.1438356437916404, &&1.2798830013730222) \\ (x_3,y_3) &=& (0.9002890839010574, &&3.006900083345737) \\ (x_4,y_4) &=& (-2.438030346526128, &&0.3303849520417783) \\ (x_5,y_5) &=& (0.08260952954639851, &&0.028331354522507797) \\ (x_6,y_6) &=& (1.0856817633955023, &&0.030767067267249513) \\ (x_7,y_7) &=& (2.960056578435498, &&0.09110100745978908) \\ (x_8,y_8) &=& (19.21903374615272, &&1.7557331998479278) \\ (x_9,y_9) &=& (-40856897.72613553, &&218399070.28039825) \\ (x_{10},y_{10}) &=& (-0.0, &&-0.0) \\ (x_{11},y_{11}) &=& (1.0, &&-0.0), \end{eqnarray} $$ lo que parece confirmar lo que la Alfa, dice. Sin embargo, debe quedar claro que lo que en realidad está sucediendo es que una gran parte real negativa, se alcanza a $n=9$. Esto produce un numérica de cero a $n=10$, seguido por $1.0000\ldots$ $n=11$. Mientras que el valor correcto a $n=11$ es cercano a los $1$, no es exacto. El valor exacto variará de $1$ en algún lugar alrededor de los $18$millones de dígitos.
