El subconjunto de los no-medibles conjunto

Question

Si $A$ es un no-medibles conjunto en $\mathbb R^n$ (en el sentido de Lebesgue), no necesariamente contienen un positivo subconjunto medible?

Answer 1

No. Cada subconjunto medible $M$ de un conjunto de Vitali en $[0,1]$ es necesariamente de medida $0$, precisamente por el mismo argumento que muestra que si el conjunto de Vitali eran mensurables, entonces habría medida cero: el racional se traduce $M+q$$M$, $q\in[-1,1]\cap\mathbb{Q}$ son pares distintos, y que figuran en el $[-1,2]$; de manera que la medida de su unión es la suma de sus medidas y es finito, por lo tanto debe ser cero.

Esto es fácilmente extendido a $\mathbb{R}^n$ cualquier $n\gt 1$.

(Por supuesto, también es falso que un subconjunto medible de un nonmeasurable debe poseer medida cero, ya que puede dejar a $V$ ser un conjunto de Vitali contenida en $[0,1]$, y tome $A=V\cup (-\infty,0)\cup (1,\infty)$. Esto no es medible, pero contiene medibles conjunto de cualquier medida de atención para que usted pueda especificar).