Orden de algún anillo cociente de enteros gaussianos

Question

Estoy intentando superar una demostración de Gauss de que ciertos primos pueden escribirse como la suma de dos cuadrados. Una suposición es que

el orden de $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)$ est $a^2+b^2$ .

Lo entiendo. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ por lo que se limita el orden de los enteros sin parte imaginaria. Pero como $b$ no es una unidad, no parece que esto termine la prueba.

¿Alguna pista?

Answer 1

HINT $\ $ Si $\rm\ (a,b) = 1\ $ entonces $\rm\ x^2 = -1,\ a = b\:x\ \iff\ a^2 = -b^2,\ x = a/b\:.\ $ Por lo tanto,

$$\rm\mathbb Z[i]/(a-b\:i)\ \cong\ \mathbb Z[x]/(x^2+1,\ a-b\:x)\ \cong\ \mathbb Z[x]/(a^2+b^2,x-a/b)\ \cong\ \mathbb Z/(a^2+b^2)$$

Answer 2

Ampliando el comentario de Qiaochu, pero tratando de dejarte algo de espacio para pensar:

$\mathbb{Z}[i]$ es un cuadrado [celosía](http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice%28group%29)_ en el plano complejo, y el ideal $(a+bi)$ es una subred cuadrada. (¿Por qué?) El índice de $(a+bi)$ en $\mathbb{Z}[i]$ es el número de elementos de $\mathbb{Z}[i]$ dentro de un cuadrado fundamental de $(a+bi)$ incluyendo parte de su frontera, pero no toda. (¿Por qué? ¿Y a qué viene lo de los límites?) Esto es lo mismo que el cociente del área del cuadrado fundamental de $\mathbb{Z}[i]$ al área del cuadrado fundamental de la subred $(a+bi)$ . (¿Por qué?)

$\mathbb{Z}[i]$ es un cuadrado unitario, por lo que la pregunta es realmente sobre el área de $(a+bi)$ El cuadrado fundamental de la empresa. La línea de $0$ a $a+bi$ es un lado de este cuadrado...

Answer 3

Una pista: Los enteros de Gauss son un dominio euclidiano con respecto a la norma Por lo tanto, dado $z\in \mathbb Z[i]$ hay $q$ y $r$ en $\mathbb Z[i]$ tal que $z=q(a+bi)+r$ con $r=0$ o $N(r)<N(a+bi)$ .