¿Qué tipo de categoría es un cíclicamente conjunto ordenado?

Question

Fondo: Un preorder es una relación binaria $\leq$ que es reflexiva y transitiva. Podemos escribir la propiedad transitiva como ${\leq}(a,b)\wedge{\leq}(b,c)\to{\leq}(a,c)$. Hay otros axiomas que nos dan parcial de pedidos, etc., así que un montón de diario "el orden" de los conceptos puede ser modelado con una relación binaria.

Del mismo modo, una categoría que tiene una composición de morfismos $\circ$, lo que ha identidades y envía $C(a,b)\times C(b,c)\to C(a,c)$. Así que también se puede modelar un conjunto preordenado como una categoría en la que todos los hom-conjunto tiene más de uno de morfismos. Realmente no he estudiado esta perspectiva, pero tengo entendido que es útil.

Ahora, un cíclica de pedidos es más, naturalmente, una relación ternaria! Su versión de la transitividad de los estados que $(a,b,c)\wedge(a,c,d)\to(a,b,d)$. Un ciclo de pedidos también es cíclico: $(a,b,c)\to(b,c,a)$. Si usted caza alrededor de la Wikipedia se puede encontrar un par de diferentes tipos de ordenes cíclicos con más o menos restrictivas de los axiomas. Para esta pregunta, vamos a entender "un orden cíclico" en líneas generales, por lo que podría ser estricta o no, y puede ser total o no: lo que es conveniente!

Pregunta: ¿Sería útil para el modelo cíclico de conjuntos ordenados por categorías? Cómo lo harías?

Supongo que las categorías superiores podría ser útil, de modo que usted puede reemplazar la relación ternaria $(a,b,c)$ con un 2-morfismos como $(a\rightarrow b)\Rightarrow(a\rightarrow c)$, y podría ser una composición de 2-morfismos como $$\left[(a\rightarrow b)\Rightarrow(a\rightarrow c)\right]\times\left[(a\rightarrow c)\Rightarrow(a\rightarrow d)\right]\mapsto\left[(a\rightarrow b)\Rightarrow(a\rightarrow d)\right].$$ Pero me estoy poniendo en forma de salir de mi profundidad! He desnatada a través de algunas categorías superiores en nLab, y no veo a un tipo de 2-morfismos que hace exactamente lo que quiero. Simplicial 2-morfismos parecía prometedor al principio, pero ellos no parecen componer de la manera correcta. Es que la idea de un callejón sin salida?

Tenga en cuenta que estoy no preguntar acerca de cualquier categoría de la monotonía de funciones entre los cíclicamente de conjuntos ordenados. Al menos, yo no creo que eso es lo que estoy preguntando.

Edita: que he revisado la redacción de la pregunta ligeramente. También, he salido adelante y publicado la pregunta sobre MO.

Answer 1

De Qiaochu del Yuan respuesta en MO:

Parece que cíclicamente conjuntos ordenados debería ser considerado como primos de categorías en lugar de como categorías mismas. Más precisamente, un cíclicamente conjunto ordenado $C$ tiene un nervio $N(C)$ análoga a la de los nervios de una (mayor) de la categoría o (superior) groupoid. El nervio es, ante todo, una secuencia $N(C)_n$ de los conjuntos, es decir, el conjunto de $n$-tuplas $(a_1, ... a_n)$ tal de que la relación se $(a_i, a_j, a_k)$ tiene para todos los $1 \le i < j < k \le n$ (o dos de $a_i, a_j, a_k$ son iguales). Hay varias natural mapas entre las $N(C)_n$ hacer $N(C)$ un conjunto cíclico en el sentido de Restricción.

Cíclico conjuntos de mentira intermedio entre simplicial conjuntos (que es por donde el nervio de la construcción se lleva a sus valores de (más) categorías) y simétrica de conjuntos (que es por donde el nervio de la construcción toma sus valores para el (mayor) groupoids). En particular, se simplicial, por lo que usted puede pensar de forma cíclica conjuntos ordenados como modelado por simplicial conjuntos de datos adicionales. Esta es una construcción reforzada versión de la construcción de la orden complejo de un poset (que es el nervio (considerado como un resumen de simplicial complejo) de la poset (considerada como una categoría)).