La convergencia de $a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$

Question

Definimos

$$a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}, a_0=c> 0$$

Me topé con esa secuencia y Mathematica me da que converge en contra de $\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$, que no depende de $a_0$. Normalmente, me muestran que las secuencias que convergen por ver que son monótonas y, a continuación, el límite puede ser fácilmente encontrado por establecimiento $a_n=a_{n+1}$, pero este parece ser alterna. También mediante la comprobación de OEIS me di cuenta de que $a_n=1/g(n)$ donde $g(n)$ da $n+1$'th Rectángulo Dorado Número.

Yo estaría encantado si alguien me puede mostrar cómo mostrar que tales secuencias convergen y cómo encontrar el límite, también tal vez este es un conocido de la secuencia, ya que tiene una muy simple formulario, lástima que google es muy malo para la búsqueda de secuencias y OEIS no menciona nada.

Answer 1

La función de $1/(1+x)$ es estrictamente decreciente y por lo tanto el fin de invertir en el positivo de reales. Si se aplica dos veces conserva el orden.

Por lo tanto, los pares y los impares subsecuencias son monótonas. También están delimitadas como todos los valores, excepto la primera, que están delimitadas por 1.

Ahora usted puede sustituir $a_n$ $a_{n+1}$ $a$ encontrar el límite.

Answer 2

En cuanto a por qué el primer término no importa, considere la posibilidad de la $6$th plazo,

$$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+c}}}}}$$

como $c$ varía entre el $0$ $\infty$ el valor de la $6$th término varía sólo por $0.1$. Como $c$ varía entre el $0$ $\infty$ $100$th término varía sólo por muy pequeño $\varepsilon$. En el límite infinito esta variación es cero.

Esto también explica por la convergencia. Dado que la convergencia se produce llamar al número $\varphi$, cumple con la ecuación de punto fijo

$\varphi = \frac{1}{1+\varphi}$

que, multiplicando ambos lados por el denominador, que es una ecuación cuadrática por lo tanto la raíz cuadrada.