Integración de funciones de onda diente de sierra, cuadrada y triangular

Question

Contexto

Después de una discusión sobre cómo trazar los resultados de una modulación de frecuencia entre dos señales en Stack Overflow, entendí que debo encontrar la integral de tiempo de las siguientes funciones de onda antes de usarlas en la fórmula general de FM (como se ilustra en la primera respuesta).

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Investigación

Integrar una función de onda seno es fácil, pero las cosas se complican mucho cuando se trata de otras formas de onda. Aquí siguen las ecuaciones que estoy usando para mostrar las formas de onda:

• Onda diente de sierra:

  $f(x) = \bmod(f_c x, 1.0);$

• Onda cuadrada:

  $f(x) = \operatorname{sign}(\cos(f_c x));$

• Onda triangular:

  $f(x) = \frac{1}{f_c}|\bmod(x, f_c) - \frac{1}{2}f_c|$

Estas funciones parecen correctas, pero como no tengo ningún conocimiento en matemáticas o cálculo en particular, no me sorprendería si cometí algunos errores. Por favor, ten paciencia.

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Preguntas

1. ¿Hay una mejor manera de describir matemáticamente las funciones de onda anteriores?
2. Si están correctas, ¿cuál es la integral de tiempo correcta?

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Actualizaciones

Gracias a las funciones con período $T$ en la forma que Rahul sugirió, obtengo:

$$\begin{align}\operatorname{sawtooth}(x) = \int_0^x \frac{2x}T-1 \ \mathrm dx &= \frac{x(x - T)}T \end{align}$$

$$\begin{align} \operatorname{square}(x) &= \int_0^x \begin{cases}1&\text{si } x

$$\begin{align} \operatorname{triangle}(x) &= \int_0^x \begin{cases}\frac{4x}T-1&\text{si } x

Usando un operador módulo es fácil hacerlos periódicos $f(x) = \operatorname{sawtooth}(x \% T)$ y todos funcionan como se espera cuando se colocan como moduladores en la ecuación de modulación de frecuencia: $$\begin{align} f(x) = \cos\left(2\pi f_c x + 2\pi f_\Delta \int_0^xg(x)\,\mathrm dx\right) \end{align}$$

Answer 1

Bueno, en principio no hay nada malo con las definiciones que tienes. Matemáticamente, las funciones se definen extensionalmente, por lo que dos funciones que se ven diferentes pero tienen la misma salida para todas las entradas son en realidad la misma función, solo escrita de formas diferentes.

Dicho esto, al tratar con funciones periódicas definidas por el usuario, creo que es más fácil definirlas en un intervalo que abarque un período, y luego extenderlas al resto de la recta real utilizando la periodicidad. Es decir, defines $g\colon [0,T)\to\mathbb R$ de la manera que desees, donde $T$ es el período de tu forma de onda, y luego dejas que $f(x) = g(x\bmod T)$ para cualquier $x\in\mathbb R$. Para tus ejemplos, definiría $$\begin{align} g_{\text{serrucho}}(x) &= \frac{2x}T-1, \\ g_{\text{cuadrada}}(x) &= \begin{cases}1&\text{si } x

Ahora quieres integrar estas. Hay una forma agradable de integrar una función periódica, dividiendo el intervalo de integración en períodos: $$\begin{align} \int_0^xf(t)\,\mathrm dt &= \int_0^Tf(t)\,\mathrm dt+\int_T^{2T}f(t)\,\mathrm dt+\cdots+\int_{(n-1)T}^{nT}f(t)\,\mathrm dt+\int_{nT}^xf(t)\,\mathrm dt \\ &= n\int_0^Tf(t)\,\mathrm dt+\int_0^{x-nT}f(t)\,\mathrm dt. \end{align}$$ Si eliges $n=\lfloor x/T\rfloor$, y utilizas el hecho de que $f(t)=g(t)$ cuando $t\in[0,T)$, esto se convierte en $$\int_0^xf(t)\,\mathrm dt=nT\bar g+\int_0^{x\bmod T}g(t)\,\mathrm dt,$$ donde $\bar g$ es el valor medio de $g$ sobre $[0,T)$. (Esta es una razón por la que lo hice cero en los ejemplos anteriores, para que este término se elimine). Así que todo lo que realmente necesitas encontrar analíticamente es la integral indefinida de $g$ sobre $[0,T)$. Imagino que puedes hacerlo, especialmente con las definiciones simples anteriores.

Answer 2

Voy a enfocarme en tu ejemplo de "diente de sierra":

Normalmente escribimos "mod" de esta manera

$$f(x)\equiv f_cx\mod{ 1 }$$

o de esta manera

$$f(x)\equiv f_cx\pmod{ 1 }$$

en matemáticas.

Otro problema es que normalmente solo usaría el operador mod para enteros. No estoy diciendo que lo que estás haciendo esté estrictamente mal, pero me parece algo poco natural matemáticamente, donde el operador mod se usa en enteros para construir aritmética como anillos. Ver en Wikipedia para más información al respecto. También te encontrarás con problemas en computadoras donde el operador mod se suele definir solo para enteros.

Diría que tus funciones no tienen una descripción "mejor" en particular, pero algunas descripciones son mejores que otras. La "mejor" para la implementación en una computadora probablemente sería algo con muchas condiciones, como esto:

$$ f(x)=\left\{ \begin{matrix} ...\\ c(x+1)&, -1

Esta representación también muestra lo que pretendes, así que realmente no hay nada malo en ello.

Matemáticamente, otras representaciones "buenas" tendrían que ver con expansiones infinitas, ya sea series de Taylor o series de Fourier. No estoy seguro de que haya una serie de Taylor adecuada para estas funciones, y dado que se trata de ondas, la serie de Fourier es apropiada de todos modos. Sucede que la expansión de la serie de Fourier de la función de diente de sierra se muestra en Wikipedia:

$$f(x)=2\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{(n+1)} \over n} \sin(nx), x - \pi \notin 2 \pi \mathbb{Z}$$

Si quisieras que los picos aparezcan en múltiplos de 1 en lugar de $\pi$, eso sería simplemente cuestión de:

$$f(x)=2\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{(n+1)} \over n} \sin(n(2 \pi x + 1)), x \notin \mathbb{Z}$$

Ahora, ambas formas, la condicional y esta, son bastante fáciles de integrar.

La onda cuadrada también es muy fácil de integrar: empieza pensando en ella como una función constante. Deberías obtener una onda triangular del mismo periodo. Observa que al final de cada "ciclo" deberías obtener 0.

La onda triangular se integra mejor en secciones en la forma condicional. Deberías obtener parábolas segmentadas. Nuevamente, el final de cada ciclo debería darte 0.