Puede cualquiera de los exóticos diferenciable estructuras en $\mathbb R^4$ $GL(\mathbb R^2)$ a un 'exóticos' Mentira estructura de grupo?

Question

Apenas estoy comenzando a aprender acerca de la Mentira de los grupos y estoy hecho un poco incómodo por el libro de texto del handwavy decisión de hablar sobre la Mentira de los grupos de $GL(V)$ donde $V$ algunos $n$-dimensiones reales de espacio vectorial. No está claro para mí que cuando al $V\cong\mathbb R^2$ $End(V)$ isomorfo a $\mathbb R^4$ después de la elección de base para $V$, que ese $\mathbb R^4$ no puede ser exótica (como yo no sé nada acerca de cosas exóticas, excepto su existencia). Creo que tal vez el requisito de que la multiplicación de matrices ser diferenciable podría resolver el problema, pero no tengo idea de ir mostrando sobre esto.

De lo contrario, si yo elijo creer que todos los $n$-dimensiones de espacios vectoriales para $n\neq 4$ tienen una única estructura diferenciable (tienen único topologías de seguro), es obvio que hablar de las $GL(V)$ arbitrarias real de espacios vectoriales es perfectamente sensical.

Así que, en breve, puede $GL(\mathbb R^2)$ ser nunca una Mentira grupo no diffeomorphic estándar $\mathbb R^4$?

Answer 1

Otra forma de ver la respuesta es "no", es el siguiente teorema:

Deje $G$ $H$ dos compacto Mentira grupos. Supongamos $f:G\rightarrow H$ es un continuo homomorphism. A continuación, $f$ es suave.

Dejar que su $G = GL(2)$$H = GL(2) (exotic)$, el mapa de identidad $i:GL(2)\rightarrow GL(2)$ es claramente continua y un homomorphism, de ahí que esté suave. Exactamente el mismo argumento muestra en el inverso es suave, por lo $i$ es un diffeomorphism.

Para probar el teorema para empezar, me gustaría comenzar con Cartan del Teorema que establece que cualquier (topológicamente) subgrupo cerrado de una Mentira grupo es automáticamente un suave submanifold. La prueba de este hecho puede encontrarse, por ejemplo, John Lee el libro de Introducción a la Suave Colectores en la pg. 526.

Ahora, dado un continuo homomorphism $f:G\rightarrow H$ considere la gráfica de $f$ $K=\{(g,f(g))\}\subseteq G\times H$. Debido a $f$ es un homomorphism, $K$ es un subgrupo. Debido a $f$ es continua, $K$ es un subconjunto cerrado. Por Cartan del Teorema, $K$ es un integrado Mentira subgrupo.

A continuación, me dicen que si $\pi_1:G\times H\rightarrow G$ es la proyección, a continuación, $\pi_1|_K:K\rightarrow G$ es en realidad un diffeomorphism. Es 1-1 debido a $f$ es una función de y en porque el dominio de $f$ es de $G$. Es suave, ya que es la restricción de una función suave suave submanifold (gracias a Cartan del teorema). El hecho de que el inverso es suave, lleva más trabajo. Una manera de ver es que cada liso homomorphism tiene rango constante y por Adrs del teorema, el mapa tiene rango completo en algún lugar. (Si quieres, yo puedo ampliar sobre el por qué de la inversa si es suave.)

Por último, observe que si a $\pi_2:G\times H\rightarrow H$ es el otro mapa de proyección, a continuación, $f = \pi_2 \circ \pi_1^{-1}$ es una composición de suave mapas, por lo que es suave.