¿Existe un espacio de medida $(X,\mathcal M, m)$ tal que $\{m(E) \mid E \in \mathcal M\} = \Bbb Q_{\geq 0} \cup \{+\infty\}$ ?

Question

Tengo en mente la siguiente pregunta:

¿Existe un espacio de medida $(X,\mathcal M, m)$ de manera que el gama de $m$ satisface $S:=\{m(E) \mid E \in \mathcal M\} = \Bbb Q_{\geq 0} \cup \{+\infty\}$ ?

(También aceptaría un espacio donde $\Bbb Q_{\geq 0} \cup \{+\infty\}$ se sustituye por $\Bbb Q_{\geq 0}\,$ .)

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Una idea sería tomar $X=\Bbb N$ y definir $m(\{n\}):=r_n$ el $n$ -ésimo número racional positivo. Pero entonces $m(\{k(n) \in X \mid r_n=1/n^2, n\geq 0\})=\pi^2/6$ no es racional. Así que los conjuntos medibles correspondientes a $1/n^2$ no debería ser disjunta. Para evitar esto, podríamos exigir que algún elemento fijo $x_0$ pertenece a todo conjunto medible no vacío. Pero esto no es posible ya que $\mathcal M$ es un $\sigma$ -en particular, es cerrada bajo la toma de complementos.

Del mismo modo, si $(x_n)$ es cualquier secuencia de números racionales positivos que converge a $\sqrt 2$ los conjuntos medibles correspondientes a $x_n$ no debería incluir uno en otro (para evitar una cadena). Podría sustituir $\pi^2/6$ y $\sqrt 2$ por cualquier número real positivo (ya que $\Bbb Q$ ¡es denso en los reales)!

Por lo tanto, mi intuición es que tal espacio de medida no puede existir. En realidad, creo que el conjunto $S$ definido anteriormente debe ser cerrado en $\Bbb R \cup \{+\infty\} \cong S^1$ (e incluso "cerrado bajo toma de series" con elementos en $S$ ). Pero no estoy seguro de que esto sea cierto, ni de cómo demostrarlo.

Se agradecerá cualquier comentario.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es no, y esto no es difícil. Pero primero, para que conste, debemos señalar que una de sus conjeturas al respecto es falsa:

El rango de una medida necesita no estar cerrado.

De hecho, aunque la respuesta a su pregunta es no, hay es una medida con rango igual a $$\{0,\infty\}\cup(\Bbb Q\cap[1,\infty)).$$ Diga $(r_1,r_2,\dots)$ es una enumeración de los racionales mayores o iguales a $1$ y definir una medida sobre $\Bbb N$ por $$\mu(\{n\})=r_n.$$ Entonces cada $r_n$ está en el rango de $\mu$ . Si $E\subset\Bbb N$ es finito y no vacío, entonces $\mu(E)$ es un racional mayor o igual que $1$ , mientras que si $E$ es infinito entonces $\mu(E)=\infty$ .

Eso es interesante. Pero el rango de una medida no puede ser todos los racionales no negativos más $\infty$ . Por ejemplo:

Teorema Si $\mu$ es una medida tal que para cada $\delta>0$ existe $E$ con $0<\mu(E)<\delta$ entonces el rango de $\mu$ es incontable.

Prueba: Elige conjuntos $F_n$ con $\mu(F_n)>0$ y $$\mu(F_{n+1})<\mu(F_n)/10.$$ Dejemos que $$E_n=F_n\setminus\bigcup_{k=n+1}^{\infty}F_k\quad(n\ge2).$$ Entonces el $E_n$ son disjuntos, $\mu(E_n)>0$ y $$\mu(E_{n+1})<\mu(E_n)/3.$$ Para $A\subset\Bbb N$ dejar $$S_A=\bigcup_{n\in A}E_n.$$ Entonces $$\mu(S_A)=\sum_{n\in A}\mu(E_n),$$ y el hecho de que $\mu(E_{n+1})<\mu(E_n)/3$ muestra que esas sumas son todas distintas (es decir, $\sum_A\ne\sum_B$ si $A\ne B$ ).