Una función que cruza cada línea horizontal solo un número finito de veces

Question

Considera una función real $f(x)$ (no necesariamente continua) definida en un intervalo finito. Dado un constante $C$, divide el intervalo en subintervalos de tal manera que, en cada subintervalo, $f(x)C$ (donde se ignoran los puntos $f(x)=C$). Sea $N(f,C)$ el menor número de subintervalos en dicha división.

De manera informal, $N(f,C)$ es aproximadamente el número de veces que la función $y=f(x)$ "cruza" la línea horizontal $y=C", donde "cruzar" significa que va de estar por debajo de la línea a estar por encima de la línea o viceversa.

Por ejemplo:

• Si $f(x)=\sin(x)$ definida en el intervalo $[-\pi,\pi]$, entonces $N(f,0)=2$, ya que $f(x)$ es negativa en $(\pi,0)$ y positiva en $(0,\pi).
• Si $f(x)=x\cdot \sin(1/x)$ en el mismo intervalo entonces $N(f,0)=\infty, ya que esta función cruza la línea y=0 infinitamente veces.

¿Qué término describe a las funciones para las cuales $N(f,C)$ es finito para cada $C$ y en cualquier intervalo?

Answer 1

Lo siento, no puedo comentar: Busca la Indicatriz de Banach de una función y funciones de variación acotada.

La Indicatriz de Banach de una función $f\colon D \to \mathbb{R}$ se define por $N(f,y) = \#\{x \in D \mid f(x) = y\}$ que es muy similar a (pero no exactamente igual que) tu definición.