Una función que cruza cada línea horizontal solamente finito muchas veces

Question

Considere la posibilidad de una función real $f(x)$ (no necesariamente continua) definida en un intervalo finito. Dada una constante $C$, se divide el intervalo de sub-intervalos tales que, en cada sub-intervalo, $f(x)<C$ o $f(x)>C$ (donde los puntos de $f(x)=C$ son ignorados). Deje $N(f,C)$ ser el más pequeño número de sub-intervalos en dicha división.

De manera informal, $N(f,C)$ es aproximadamente el número de veces que la función de $y=f(x)$ "cruza" el horiznotal de la línea de $y=C$, donde los "cruces" significa que se pasa de estar por debajo de la línea para estar por encima de la línea o viceversa.

Por ejemplo:

• Si $f(x)=\sin(x)$ definido en el intervalo de $[-\pi,\pi]$,$N(f,0)=2$, ya que el $f(x)$ es negativo en el $(\pi,0)$ y positivo en $(0,\pi)$.
• Si $f(x)=x\cdot \sin(1/x)$ en el mismo intervalo de tiempo, a continuación, a continuación,$N(f,0)=\infty$, ya que esta función cruza la línea y=0 infinidad de veces.

¿Qué término describe las funciones para las que $N(f,C)$ es finito para cada $C$ y en cualquier intervalo?

Answer 1

Lo sentimos, no se puede comentar: ver Banach Indicatrix de una función y las funciones de variación acotada.

Se define la indicatrix de Banach de una función $f\colon D \to \mathbb{R}$ $N(f,y) = \#\{x \in D \mid f(x) = y\}$ que es muy similar (pero no exactamente igual) su definición.