Demuestra que $\mathbb Q[x]/(x^2+2)$ y $\mathbb Q[x]/(x^2-2)$ no son isomorfas.

Question

Tengo una prueba que dice $\mathbb Q[x]/(x^2+2)$ y $\mathbb Q[x]/(x^2-2)$ no son isomorfas.

Sin embargo, creo que no es bueno...

Primero veo que $x^2+2$ y $x^2-2$ son irreducibles en $\mathbb Q$ . Entonces me doy cuenta de que $x^2=2$ y $x^2=-2$ .

Ahora, si tomamos $(a+bx)(c+dx)$ en ambos, terminamos

$ac-2bd + (ad + bc)x$ y $ac+2bd + (ad + bc)x$ .

¿Puedo decir ahora que estos campos no tienen la misma estructura, por lo que no pueden ser isomorfos?

No quiero una respuesta exacta (deberes :) ), pero una pista estaría bien para guiarme en la dirección correcta.

Answer 1

Pista: Cualquier isomorfismo entre los dos campos enviará $\mathbb{Q}$ a sí mismo porque $1$ tiene que mapear a $1$ . Sabiendo esto, podemos examinar qué elementos tienen raíces cuadradas.

Answer 2

No, simplemente observando que las reglas de multiplicación mira diferente no demostrará que los anillos no son isomorfos. Por ejemplo, considere $\mathbb R$ con la suma ordinaria y la "multiplicación" $a\otimes b=-ab$ . Esto tiene una multiplicación diferente a la de $\mathbb R$ con las operaciones habituales, pero sin embargo es isomorfo, por el isomorfismo $x\mapsto -x$ .

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En primer lugar, puede ayudar a su intuición darse cuenta de que sus dos anillos cotizados son isomorfos a subrings de $\mathbb C$ , a saber $\mathbb Q+\sqrt2i\mathbb Q$ y $\mathbb Q+\sqrt2 \mathbb Q$ .

Una vez que veas esto, deberías ser capaz de demostrar directamente que un anillo satisface la propiedad " $-(1+1)$ tiene una raíz cuadrada" y la otra no. Y esto significa que ni siquiera puede haber un homomorfismo que lleve la raíz cuadrada (en el anillo donde existe) a cualquier parte del otro anillo.

Answer 3

Prueba lo siguiente: Suponga que hay es un isomorfismo $\psi:\Bbb Q[x]/(x^2 - 2)\to \Bbb Q[y]/(y^2 + 2)$ . Entonces, como ambos son bidimensionales sobre $\Bbb Q$ tenemos que $\psi$ está completamente determinado por $\psi(1)$ (que debe ser $1$ ) y $\psi(x) = a + by$ para algunos racionales $a$ y $b$ . Usa esto para derivar una contradicción.

Answer 4

$\mathbb{Q}[x]/\langle x^2 -2 \rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \Rightarrow$ si tal iso existiera tendríamos $\mathbb{Q}[x]/\langle x^2+2 \rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2}).$ Por lo tanto, considere en $\mathbb{Q}[x]/\langle x^2+2 \rangle$ la equivalencia de $[a+bx] = [a]+[b][x]$ .

Recall $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} : a,b \in \mathbb{Q} \}$ . Por lo tanto, $[x] \mapsto \sqrt{2}$ por alguna iso " $\phi$ ". Sin embargo, esto implica $\phi([x^2]) = \phi([x][x]) = \phi([x])\phi([x])=(\phi([x]))^2 = 2$ . Pero $[x]^2 =-2 \Rightarrow \phi([x^2])=\phi(-2)=-2 \not = 2.$

O simplemente notar que no hay iso de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i) \to\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ desde $[a+bi]=[a]+[b][i] \Rightarrow [i] \mapsto \sqrt{2}$ pero luego $[i^4]=[1] \mapsto 4 \Rightarrow$ no tenemos una iso.

Answer 5

$K=\mathbb{Q}[x]/\langle x^2 -2 \rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb R$

$L=\mathbb{Q}[x]/\langle x^2 +2 \rangle \cong \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) \not\subseteq \mathbb R$

En palabras: $K$ se puede incrustar en los números reales pero $L$ no puede porque contiene un elemento cuyo cuadrado es negativo. Por lo tanto, $K$ y $L$ no puede ser isomorfo.