¿El círculo de punto de $9$ generalizable a $n$-gons de $n\gt3$?

Question

Todos los triángulos tienen concyclic vértices y tienen un $9$ punto de un círculo que se cruza con el triángulo de los pies y los puntos medios de sus lados (así como de $3$ otros puntos importantes).

Es este especial para los triángulos? O puede ser generalizada, en cierto sentido, a todos los irregulares $n$-ágonos (de $n\gt3$) con concyclic vértices?

Puede un círculo que se dibuja, el cual cruza los pies y los puntos medios de los lados de un pentágono irregular con concyclic vértices?

Supongo que un requisito previo es que la irregularidad de la $n$-gon los pies y las altitudes que todos los que se cortan en un único ortocentro. Así que supongo que de todas formas, incluso con $n$ se elimina.

Answer 1

La actualización. Esto puede o no puede-no cuenta como una respuesta, dependiendo de si OP admite polígonos con cruzó los bordes y/o vértices compartidos. Sin embargo, ya que las ecuaciones no tienen sesgo, vale la pena señalar que este es el tipo de cosa que surge de símbolo-empujando a solas:

Encima es cíclico pentágono $ABCDE$ con vértices compartidos $B=E$. Los puntos medios de los bordes $AB$, $CD$, $EA$ coinciden en el circuncentro; éstas se encuentran en el círculo común con los puntos medios de las aristas $BC$$DE$. Por otra parte, que el circuncentro es el pie de la perpendicular de $A$ a "opuesto al" borde de la $CD$, el pie de$C$$EA$, y el pie de$D$$AB$. Punto de $B$ sí, es el pie de la perpendicular a $DE$ a través de $B$; y $E$ es el pie de la perpendicular a $BC$ a través de $E$.

Por lo tanto, el círculo más pequeño contiene todos los puntos y todos los pies de las perpendiculares a frente-los bordes. (Tenga en cuenta, sin embargo, que los cinco perpendiculares no pasan a través de un punto común.)

Todavía estoy investigando el caso general.

Anteriores (No)Respuesta. Es bastante fácil de construir un pentágono en el que el perpendiculares a frente-los bordes se juntan en un punto común, pero tal que los pies de los perpendiculares no se encuentran en un círculo común: