$\operatorname{tr}(AABABB) = \operatorname{tr}(AABBAB)$ para $2 × 2 matrices de $

Question

Similar a la anterior pregunta aquí, me pregunto si cíclica permutaciones son las únicas relaciones entre las huellas de (no-conmutativa) monomials. Dado que las evaluaciones de $\operatorname{tr}:k\langle x,y,\dots \rangle \a k$ tomar una infinita dimensiones de espacio vectorial para un uno-dimensional espacio vectorial debe haber muy pocas relaciones, pero me pregunto si alguno de ellos están en binomios otras de las permutaciones cíclicas.

En cualquier caso, de pequeñas dimensiones, que probablemente algo adicional relaciones.

Parece que $\operatorname{tr}(AABABB−AABBAB) = 0$ para todo $2×2$ matrices. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

En primer lugar, si $N$ es $2\times2$ matriz con $\operatorname{tr}(N)=0$, entonces $N^2$ es escalar ($N$ es nilpotent o sus autovalores son opuestas y tienen la misma plaza). Esto implica que $\operatorname{tr}(N^3)=0$.

Y $$\begin{eqnarray} (AB-BA)^3 &=& (ABABAB - BABABA) + (ABBABA + BABAAB + BAABBA) \\ && - (ABABBA + ABBAAB + BAABAB) \end{eqnarray} $$

tomando el seguimiento de este da

$$0 = 0 + 3\operatorname{tr}(ABBABA) - 3 \operatorname{tr}(ABABBA) = 3 \operatorname{tr}(AABBAB - AABABB).$$

Answer 2

También es relevante el teorema Amitsur-Levitki.

Answer 3

Recuerdo leer hace mucho que las trazas de las identidades en general surgir de aquellos asociados con el Cayley-Hamilton teorema (por multilinearizing el polinomio característico[2]). Una rápida búsqueda en la web relacionadas con las palabras clave subido el siguiente documento[1]. En la introducción se afirma que "vamos a comprobar que todo rastro identica a la de la totalidad de álgebra de matrices de orden n sobre un campo de característica cero son consecuencias de la correspondiente a la de Hamilton-Cayley teorema". También es independiente de la obra seminal de la Procesi, que obtiene la traza de las identidades a través de multilineal invariantes del tensor de productos de espacios vectoriales. No hay duda de que mucho trabajo se ha hecho en tres décadas desde que este trabajo seminal apareció. Una búsqueda en Razmyslov / Procesi y "seguimiento de las identidades", revela mucho.

[1] Razmyslov. Seguimiento de las identidades de matriz completa álgebras sobre un campo de característica cero.
Matemáticas Urss Izv, 1974, 8 (4), 727-760.

[2] Formanek. El polinomio de identidades y la de Cayley-Hamilton Teorema.
La Matemática Intelligencer. Vol. 11, 1, 1989, 37-39.