Homeomorfismo entre $\mathbb{Q}$y $\mathbb{Q}(>0)$ y $\mathbb{Q}(\ge 0)$

Question

Quiero preguntar acerca de la homeomorphism entre $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}_{>0}$: los racionales mayor que $0$, e $\mathbb{Q}_{\geqslant 0}$: los racionales $\geqslant 0$?

Para$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}_{>0}$, puedo usar el de ida y vuelta mapa para tener un orden, un isomorfismo, y como resultado, un homeomorphism. Hay una fórmula directa para el mapa?

Es muy sorprendente que la $\mathbb{Q}_{\geqslant 0}$ es homeomórficos a$\mathbb{Q}_{>0}$$\mathbb{Q}$, no sé cómo demostrar que son homeomórficos.

Podría alguien por favor me ayude con la homeomorphisms entre ellos?

Answer 1

La siguiente función es una homeomorphism entre el$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}_{>0}$ : $$f(x) = \begin{cases} \frac{-1}{x}, & \text{if } x<-1 \\ x+2, & \text{if } x \geq -1 \end{cases}.$$

Para un homeomorphism entre el$\mathbb{Q}_{\geq 0}$$\mathbb{Q}$, yo más bien la construcción de un homeomorphism entre el$[0,\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}$$]-\sqrt{2},\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}$. Deje $f : [0,1[ \cap \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ definido por :

• $f(0) =0$.
• Para todos $n \in \mathbb{N_{\geq 1}}$, $f$ es un homemomorphism de$]\frac{\sqrt{2}}{2n+1},\frac{\sqrt{2}}{2n}[ \cap \mathbb{Q}$$]\frac{\sqrt{2}}{n+1},\frac{\sqrt{2}}{n}[ \cap \mathbb{Q}$.
• Para todos $n \in \mathbb{N_{\geq 1}}$, $f$ es un homemomorphism de$]\frac{\sqrt{2}}{2n},\frac{\sqrt{2}}{2n-1}[ \cap \mathbb{Q}$$]-\frac{\sqrt{2}}{n+1},-\frac{\sqrt{2}}{n}[ \cap \mathbb{Q}$.

Entonces :

• La función de $f$ es de uno a uno de$[0,\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}$$]-\sqrt{2},\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}$.

• Es continua en a $]0,\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}$ porque es continua en el abierto que cubre $(]\frac{\sqrt{2}}{k+1},\frac{\sqrt{2}}{k}[)_{k \geq 1}$.

• Es continua en a $0$ porque $f([0,\frac{\sqrt{2}}{2k}[) \subset (]-\frac{\sqrt{2}}{k},\frac{\sqrt{2}}{k}[)$.

• Por las mismas razones $f^{-1}$ es continua en a $(]-\sqrt{2}[ \cup ]\sqrt{2}[) \cap \mathbb{Q}$ y a las $0$.