Supongamos $\zeta$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad. La diferencia entre el $\mathbb{Q_p}[\zeta]/\mathbb{Q}_p$ $\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}$ es que el $\mathbb{Q}_p$ en general puede contener algo más de las relaciones entre el $n$th raíces de la unidad, en cuyo caso adyacentes $\zeta$ no aumentará tanto como lo hace $\mathbb{Q}$.
Para un campo general $K$, un automorphism $\phi$ $K[\zeta]/K$ está determinado por completo por donde se envía a $\zeta$. Desde $\zeta$ es una raíz de la unidad, $\phi(\zeta)$ tiene que ser así, por lo $\phi(\zeta)=\zeta^k$ para algunos entero $k$. Que los enteros $k$ son permitidos depende del polinomio mínimo de a $\zeta$, que depende de la $K$.
Más de $\mathbb{Q}$ el polinomio mínimo de a $\zeta$ $n$th cyclotomic polinomio
$$ \Phi_n(X) = \prod_{ \substack{1 \leq k \leq n \\ gcd(k,n)=1}} (X - \zeta^k).$$
En otras palabras, los elementos de ${\rm Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q})$ $\phi_k(\zeta) = \zeta^k$ donde $k$ pertenece a $(\mathbb{Z} /n \mathbb{Z})^\times$. A continuación, $k\mapsto \phi_k$ es un isomorfismo de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ a ${\rm Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q})$, por lo que el último tiene el fin de $\varphi(n)$. Por ejemplo, cuando $n=p^r$,$[{\rm Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q})]=\varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1)$.
Ahora, más que cualquier otro campo $K$ de característica cero, el polinomio mínimo de a $\zeta$ brecha $\Phi_n(X)$. Si $n=p^r$$K=\mathbb{Q}_p$, el mismo argumento que usan para demostrar la irreductibilidad de $\Phi_{p^r}$$\mathbb{Q}$, en otras palabras, el criterio de Eisenstein, funciona a través de $\mathbb{Q}_p$. Aquí es por $r=1$.
Tenemos
$$ \Phi_{p}(X) = \frac{X^p - 1}{X-1}.$$
Establecimiento $X = Y+1$, podemos escribir
$$ \Phi_p(X)=\Phi_p(Y+1) = \frac{(Y+1)^p - 1}{Y} = Y^{p-1} + {p \choose p-1} Y^{p-2} + \cdots + {p \choose 2}Y + p.$$
Todos los coeficientes después de que el líder de uno son divisibles por $p$. Si este polinomio se reduce, por lo que el $\Phi_p(Y+1)=Q(Y)Q'(Y)$, entonces el modulo $p$ obtendríamos $\overline{Q}(Y)\overline{Q}'(Y) = Y^{p-1}$$\mathbb{F}_p$. Eso significaría que el $Q(Y) = Y^r$$Q'(Y)=Y^s$$s+r = p-1$. De ello se desprende que $Q(Y)$ $Q'(Y)$ deben términos constantes divisible por $p$. Pero, a continuación, $Q(Y)Q'(Y)$ tendría un término constante divisible por $p^2$, $\Phi_p(Y+1)$ no. Por lo tanto, $\Phi_p(X)$ es irreductible. Esto es (la prueba) de Eisenstein, la irreductibilidad criterio y en este caso funciona de la misma sobre$\mathbb{Q}_p$$\mathbb{Q}$. Esto muestra que ${\rm Gal}(\mathbb{Q}_p[\zeta]/\mathbb{Q}_p) \cong {\rm Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q})$.
Para $n=p^r$ $r>1$ puede utilizar el hecho de que $\Phi_{p^r}(X)=\Phi_p(X^{p^{r-1}})$ y el uso de un argumento similar.
Si $n\neq p^r$, $\Phi_n(X)$ no puede ser irreducible sobre $\mathbb{Q}_p$, en cuyo caso $\mathbb{Q}_p[X]/(\Phi_n(X))$ se divide en un producto directo de isomorfo campos, uno para cada uno de los distintos primer de $\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}$ se encuentra por encima del $p$. Por lo tanto, la irreductibilidad de $\Phi_n(X)$ $\mathbb{Q}_p$ está vinculado a la división de comportamiento de la prime $p$$\mathbb{Q}[\zeta]$.
Cuando $p\nmid n$, $p$ es unramified en $\mathbb{Q}_p[\zeta]/\mathbb{Q}_p$ ${\rm Gal}(\mathbb{Q}_p[\zeta]/\mathbb{Q}_p)$ es isomorfo a ${\rm Gal}(\mathbb{F}_p[\zeta]/\mathbb{F}_p)$, que es cíclico de orden $n/gcd(n,p-1)$.
