¿Círculo y corazón homeomórficos?

Question

¿Son un círculo y un corazón homeomorfos entre sí?

Intuitivamente, puedo imaginar que uno puede "transformarse" en el otro doblándose y estirándose sin romperse. Pero no estoy seguro de que sea correcto.

Esto no es un encargo ni nada por el estilo, sólo estoy pensando en ello en general.

¿Puede alguien confirmar o rechazar mi razonamiento anterior y mostrármelo (algebraicamente o mediante un esquema o lo que sea) para darme una buena explicación?

Esta es la foto que me hizo pensar en ello

Answer 1

He aquí un posible enfoque. Dejemos que $$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\leq1\}$$ sea el disco unitario cerrado.

Para cualquier par de funciones $f,g:[-1,1]\to\mathbb R$ tal que $f(-1)=g(-1)$ , $f(1)=g(1)$ y $f(t)<g(t)$ para todos $t\in(-1,1)$ , dejemos que $$A(f,g)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid f(x)\leq y\leq g(x)\}$$ ser "el área entre sus gráficas". (La mayoría de los candidatos para "la forma del corazón" puede describirse como $A(f,g)$ para una elección adecuada de $f,g$ .) Ahora bien, afirmo que cualquier tal conjunto $A(f,g)$ es homeomorfo a $D$ . Lo demostraremos en varios pasos.

Lema 1. $A(f,g)$ es homeomorfo a $A(0,g-f)$ . (Aquí $0$ es la función cero, definida por $0(x)=x$ y $g-f$ se define por $(g-f)(x)=g(x)-f(x)$ .)

Prueba. El homeomorfismo $h:A(f,g)\to A(0,g-f)$ es simplemente $$h(x,y)=(x,y-f(x))$$ que obviamente está bien definida y es continua, porque $f$ es. Su inversa viene dada por $$h^{-1}(x,y)=(x,y+f(x))$$ y ya está. $\square$

Lema 2. Supongamos que $k_i:[-1,1]\to\mathbb R$ , $i=1,2$ son dos funciones cualesquiera tales que $k_i(-1)=k_i(1)=0$ y $k_i(t)>0$ para $t\in(-1,1)$ . Entonces $A(0,k_1)$ es homeomorfo a $A(0,k_2)$ .

Prueba. De nuevo, podemos definir un homeomorfismo explícito $h:A(0,k_1)\to A(0,k_2)$ esta vez mediante la fórmula $$h(x,y)=\left(x,\frac{k_2(x)}{k_1(x)}y\right)$$ para $x\in(-1,1)$ y $h(-1,0)=h(1,0)=0$ . Esto es continuo para $x\in(-1,1)$ ya que $k_1$ y $k_2$ son continuas y los productos y cocientes de funciones continuas son continuos (estos últimos siempre que el denominador sea distinto de cero). Pero $h$ también continua en los puntos $(\pm1,0)$ ya que $\frac{y}{k_1(x)}\in[0,1]$ para todos $(x,y)\in A(0,k_1)$ mientras que $k_2(x)$ va a $0$ como $x$ se acerca a $\pm1$ . Así que los dos límites $\lim_{(x,y)\to(\pm1,0)}h(x,y)$ existen e igualan los valores de las funciones correspondientes. Con el mismo argumento, la inversa $$h^{-1}(x,y)=\left(x,\frac{k_1(x)}{k_2(x)}y\right)$$ es continua. Así que $h$ es efectivamente un homeomorfismo. $\square$

Proposición. $A(f,g)$ es homeomorfo a $D$ .

Prueba. Por el Lemma 1, $A(f,g)$ es homeomorfo a $A(0,g-f)$ . Por el Lemma 2, $A(0,g-f)$ es homeomorfo a $A(0,2k)$ con $k(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Por el Lemma 1 de nuevo, $A(0,2k)$ es homeomorfo a $A(-k,k)=D$ . Por lo tanto $A(f,g)$ es homeomorfo a $D$ . $\square$

Si se desea un homeomorfismo explícito, basta con calcular la composición de todos los mapas utilizados. (Por cierto, las pruebas son aún más sencillas si se trabaja con un disco unitario abierto y un "corazón abierto": así no hay que analizar los puntos $(\pm1,0)$ por separado).

Para obtener (la versión poligonal de) un corazón, puedes utilizar, por ejemplo $$f(x)=|x|-1$$ y $$g(x) = \frac12-\left||x|-\frac12\right|,$$ pero estoy seguro de que tú mismo puedes inventar una versión mejor ("redonda" de un) corazón y el mismo argumento funcionará.

En cualquier caso, probablemente sea útil dedicar algún tiempo a intentar visualizar qué hace cada uno de los mapas.