¿Cómo podríamos manualmente aproximado de $$\sum_{i=1}^{50} i!$$ to the value $ 3.1035 \times 10^{64}$?
Me enfrenté a esta pregunta en mi prueba de aptitud,hubo cuatro opción dada,yo no podía resolver durante la prueba,en casa he utilizado Stirling aproximación con wolfram Mathematica para identificar la opción correcta (si lo hizo bien),sin embargo me interesa saber si hay alguna manera de que podamos hacer esto completamente de forma manual (probablemente con el uso de algunos trucos)?
PS:Por el manual me refiero pura y sólo con lápiz y papel.
AGREGADO: Las opciones fueron:
$1)3.1035 \times 10^{65} \quad\quad 2) 3.1035 \times 10^{64} \quad\quad 3) 3.1035\times 10^{62} \quad\quad 4) 3.3339 \times 10^{62}$
Respuestas
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El mayor término de la suma es 50 veces tan grande como la siguiente más grande, y $49\times50$ veces tan grande como el segundo más grande, y así sucesivamente. Así que para conseguir que justo dentro de un factor de 10, la informática, la $50!$ solo deberían ser suficientes.
Pero, ¿cómo manualmente es "manualmente" aquí? Es puramente de lápiz y papel, o ¿hay alguna manera de calcular los registros y exponenciales?
(Edit: Lápiz y papel!) He aquí una sugerencia, suponiendo que uno es una enciclopedia andante de matemática de la trivia. Con las opciones dadas es (esperamos) suficiente para calcular los $\log_{10} 50!$ con una precisión de alrededor de $0.5$.
Supongamos que nos recuerda a Stirling fórmula: $$\ln n! \approx \frac{\ln(2\pi)}2+\left(n+\frac12\right)\ln n - n$$ Esto le da $$\log n! = \frac{\log(2\pi)}2+\left(n+\frac 12\right)\log n - \frac{n}{\ln 10}$$
Supongamos que sabemos que $\log_{10} 5\approx 0.7$ y también asumir que sabemos que $\ln 10\approx 2.3$. Creo que no es justo asumir recordamos $\log_{10}(2\pi)$, pero se ve que debe estar en algún lugar entre 0,7 y 1, así que vamos a conservadoramente set $\frac{\log(2\pi)}2\approx 0.4\pm 0.1$. A continuación, obtener $$\log 50! \approx 0.4 \pm 0.1 + 50.5\times1.7 - \frac{50}{2.3}$$ que es de lápiz-y-papel manejable y funciona a $$\log 50! \approx 64.55\pm 0.1$$ Esto debe darle un poco de confianza en el $3\times10^{64}$ opción .
DiGi
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1925
Teniendo en cuenta esas cuatro opciones, puedo hacer una muy buena suposición usando solamente la información que tengo en la memoria y el cálculo de lápiz y papel.
$50 \ln 50 - 49 = \int\limits_1^{50}\ln x dx < \sum\limits_{n=1}^{50}\ln n < \int\limits_1^{51}\ln x dx = 51 \ln 51 - 50$. $\ln 10 \cong 2.3$, and $\log_{10} 5 \cong 0.7$, so $\ln 50 = \log_{10} 50 \ln 10 \cong 1.7\cdot 2.3 = 3.91$. $50\cdot 3.91 - 49 = 146.5$ y $51 \cdot 3.91 - 50 = 149.41$, por lo que $\log_{10} 50!$ debe estar entre $\dfrac{146.5}{2.3} \cong 63.7$ y $\dfrac{149.41}{2.3} \cong 65.0$. Más o menos fija hasta la segunda alternativa.
(Había independientemente no recordé que $\ln 10 \cong 2.3$, yo podía tienen lo de recordar que $e^3 \cong 20$ y $\ln 2 \cong 0.7$.)
Saeed Neamati
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157
La respuesta final será dominado por el mayor plazo. Escribir la serie como
$$50! + 49! +\cdots + 1!$$
$$50!(1+ \frac{1}{50}+ \frac{1}{49\cdot 50}+\cdots +\frac{1}{50!})$$
Los valores numéricos de cada una de las siguientes condiciones disminuye muy rápidamente. Así que usted puede truncar la suma adecuadamente de acuerdo con el número de lugares decimales que usted requiere. Si se toma solo los tres primeros términos, yo.e $$\approx 50! \times 1.0204 = 3.1034 \times 10^{64}$$
Usted debe calcular los 50!, para lo cual la única forma que conozco es el uso de la fórmula de Stirling. (En esta prueba, se proporcionó logaritmo tablas?)
encomiast3
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11
(Este debe ser un comentario ya que yo no voy a resolver el problema, pero lo tengo muy largo)
Una vez que te das cuenta de que el primer término domina, se llega a la estimación de los 50!. Ahora aquí es donde se utiliza la prueba de la psicología. Las opciones 3 y 4 son muy cercanas. Iba a necesitar una muy buena estimación de distinguirlos. Tentativamente a la conclusión de que probablemente no es uno de esos.
Que deja las opciones 1 y 2. Difieren por un factor de 10, de modo que usted puede estar bastante descuidado y distinguir entre ellos. No, no es en realidad demasiado largo sólo tienes que ir adelante y se multiplica. Si usted toma ventaja de la descomposición en factores primos de los términos de la mayoría de las multiplicaciones será por números simples que usted puede hacer en su cabeza y sólo escribe el resultado.
Alguien más inteligente que yo probablemente podría primer organizar 2, 3, ..., 50 en grupos u organizar sus factores en grupos que se multiplican en particular con números fáciles para trabajar (por ejemplo par de grupos de 2 y de 5 a trabajar) o para mantener el error de límites razonables, pero me gustaría ir a por la fuerza bruta.
