¿Cuál es la explicación intuitiva para $\operatorname{div} \operatorname{curl} F = 0$ ?

Question

Conozco una explicación intuitiva para $\operatorname{curl} \operatorname{grad} F = 0$ (un bloque colocado en una superficie montañosa sin fricción se deslizará hacia un terreno más bajo sin girar), y se preguntaba si había una explicación similar para $\operatorname{div} \operatorname{curl} F = 0$ .

Answer 1

Actualización: Sentí que en mi respuesta original, la intuición se perdía en todo el formalismo, así que la he reescrito para hacerla más clara. La idea central sigue siendo la misma que Respuesta de Qiaochu en la pregunta vinculada de MO.

En primer lugar, no creo que vayas a obtener una explicación para $\nabla\cdot (\nabla\times \mathbf F) = 0$ que está al mismo nivel que tu ejemplo del bloque deslizante, porque mientras que la fuerza gravitacional es bien conocida por ser el gradiente del potencial negativo, no hay ningún campo vectorial tangible que sea el rizo de algo. El rizo, al igual que el producto cruzado, es un poco "antinatural", ya que depende de la elección de la lateralidad; la física clásica, en cambio, es independiente de la lateralidad, por lo que nunca se puede observar un rizo directamente, sólo se oculta bajo una integral o un producto cruzado para hacer desaparecer la lateralidad.

Sin embargo, el argumento más natural desde el punto de vista matemático que $\nabla\cdot (\nabla\times \mathbf F) = 0$ es bastante fácil de entender. Para entrar en calor, veamos otra explicación de por qué $\nabla\times (\nabla f) = 0$ . El rizo de cualquier campo vectorial $\mathbf F$ describe cuánto $\mathbf F$ "da vueltas", ¿verdad? Así que tomemos cualquier bucle cerrado en el espacio; la curvatura neta dentro del bucle no es más que la cantidad de $\mathbf F$ "circula" por el bucle, es decir $\oint \mathbf F \cdot d\mathbf x$ . Pero si $\mathbf F$ es un gradiente de algo, digamos $f$ entonces $\mathbf F \cdot d\mathbf x$ es en realidad cuánto $f$ está subiendo o bajando mientras caminas $d\mathbf x$ . Por lo tanto, si se recorre un bucle cerrado y se vuelve al punto de partida, el cambio neto en $f$ ¡tiene que ser cero! O como Comentario de wzzx estados: no se puede ir andando de casa a la escuela y viceversa y haber subido en ambos sentidos.

Ahora podemos hacer lo mismo para $\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf F)$ . Intuitivamente, la divergencia de un campo vectorial $\mathbf G$ mide la cantidad de $\mathbf G$ se está "extendiendo" o "atrayendo". En otras palabras, elija cualquier región del espacio; ¿cuál es la divergencia total de $\mathbf G$ ¿te lo dice el interior? Te dice exactamente cuánto $\mathbf G$ sale de la superficie de la región, es decir $\oint \mathbf G \cdot d\mathbf A$ . Pero si $\mathbf G$ es el rizo de otro campo vectorial $\mathbf F$ entonces $\int \mathbf G \cdot d\mathbf A$ en una superficie sólo mide cuánto $\mathbf F$ circula alrededor del límite de esa superficie. ¿Qué es el límite de una superficie cerrada? Imagina que tomas una porción de toda la superficie y la haces crecer hasta cubrirla por completo. Su límite acaba haciéndose cada vez más pequeño y luego desaparece. Entonces no hay nada para $\mathbf F$ para circular, y la circulación debe ser nula.

Todo lo que he mostrado aquí es que las integrales de $\nabla\times(\nabla f)$ y $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)$ son cero en cualquier región arbitraria, pero eso debería ser suficiente para ver que (al menos para una región suave $f$ y $\mathbf F$ ) sus valores deben ser cero en todas partes.

Answer 2

Intuición formal

La "intuición formal" es un poco contradictoria, pero mira

$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$$

Los productos cruzados son perpendiculares a las cosas que se cruzan, por lo que $\mathbf{A \times B}$ es perpendicular a $\mathbf{A}$ . El producto punto de los vectores perpendiculares es cero, por lo que

$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0$$

Sustitución de $\mathbf{A}$ con $\nabla$ daría la identidad, pero no estoy seguro de que esto cuente como algo intuitivo. Nota: Esto no se supone que sea una prueba. Sólo se supone que sugiere la identidad.

Intuición geométrica

En este caso, utilizaré el teorema de Gauss y el teorema de Stoke, que tienen explicaciones intuitivas.

Haz un sistema de coordenadas como este:

Considera una caja cúbica. Hazla centrada en el origen con lados de longitud $1$ , por lo que las esquinas son $(.5,.5,.5)$ , $(.5,.5,-.5)$ , $(.5,-.5,.5)$ etc. Esto es por conveniencia - el área de cada lado es $1$ y el volumen es $1$ Así que cada vez que tengo que dividir o multiplicar por el área de un lado o por el volumen, nada cambia.

Estamos estudiando $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})$ . Ignorando lo que hay dentro del paréntesis, estamos ante una divergencia de algo. Llamemos a esa cosa $\mathbf{C}$ ya que es un rizo.

El teorema de Gauss dice que la integral de la divergencia sobre el volumen de la caja es igual al flujo neto que sale. Esto significa que podemos encontrar la divergencia media sobre toda la caja pensando sólo en las caras.

Considera la cara superior. Para encontrar el flujo que sale de la cara superior, primero hay que encontrar la media de $\mathbf{C}$ sobre esa cara. Luego proyecta ese vector sobre un vector normal unitario, $\hat{z}$ . Esto da un vector $\mathbf{C}_z$ que apunta hacia dentro o hacia fuera de la caja. Si apunta hacia afuera, contribuye con un flujo positivo, y si apunta hacia adentro, contribuye con un flujo negativo.

Si podemos demostrar que los seis vectores de este tipo (uno por cada cara) contribuyen con un flujo neto nulo cuando se combinan, sabemos que la divergencia media sobre nuestra caja es cero. ¿Cómo podemos obtener información sobre la media de $\mathbf{C}$ ¿proyectado en un vector normal, sobre alguna cara?

Aquí es donde entra el rizo. El teorema de Stokes dice que la media de $\mathbf{C}_z = (\nabla \times \mathbf{F})\cdot\hat{z}$ sobre la parte superior es igual a la integral de línea sobre los bordes de la cara superior de $\mathbf{F}\cdot \hat{r}$ con $\hat{r}$ un vector tangente unitario. En otras palabras, cada una de las cuatro aristas de la parte superior da alguna contribución a la media de $\mathbf{C}_z$ en la parte superior.

Agarra un borde en particular - el de $(.5, -.5, .5)$ a $(.5,.5,.5)$ lo hará. Supongamos que lo atravesamos de izquierda a derecha, y obtenemos un número positivo, digamos $4.2$ fuera de la integral de línea de $\mathbf{F} \cdot \hat{r}$ a lo largo de ese borde.

El vector púrpura es el campo vectorial original $\mathbf{F}$ . Se proyecta en $\hat{r}$ para hacer $F_r$ el segmento púrpura. Esto se integra a lo largo del borde, y contribuye al vector negro $\mathbf{C_z}$ que a su vez contribuye al flujo.

Lo importante es que este $4.2$ El valor de la integral de línea a lo largo del borde se utiliza dos veces para encontrar el flujo porque el borde limita con dos caras diferentes. Para la cara superior, ir de izquierda a derecha en nuestro borde significa dar vueltas en el sentido de las agujas del reloj visto desde arriba. La regla de la mano derecha nos dice que el positivo $4.2$ de la integral de línea a lo largo de nuestra arista contribuye positivamente a un vector $\mathbf{C_z}$ punto de la parte superior. Como apunta hacia arriba, contribuye con un flujo negativo. En total, atravesar nuestra arista, pensando en ella como parte de la parte superior del cubo, contribuye $-4.2$ al flujo total.

Cuando miramos la parte delantera del cubo, ir de izquierda a derecha en nuestra arista significa ir en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la parte delantera, visto desde el frente del cubo. La regla de la mano derecha significa que una integral de línea positiva en el sentido de las agujas del reloj alrededor del frente crea un vector $\mathbf{C}_x$ apuntando hacia el cubo - flujo positivo. Así que esta vez nuestra arista contribuye $+4.2$ al flujo total.

Las dos contribuciones del borde al flujo se anulan entre sí porque una apunta hacia afuera y la otra hacia adentro. No hay nada especial en esta arista, por lo que todas las aristas se cancelarán por sus dos contribuciones al flujo. El flujo total de este cubo es cero. Eso significa que la media de la divergencia sobre el cubo es cero. No hay nada especial en este cubo, por lo que la media de la divergencia sobre cualquier cubo es cero, y la divergencia misma debe ser simplemente cero en todas partes.

Intuición física

Este teorema sobre la divergencia del rizo es el responsable de la conservación de la carga. Empezamos con la ecuación de Maxwell para el rizo del campo magnético

$$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{J}$$

Toma la divergencia de ambos lados.

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf{E} + \frac{4\pi}{c}\nabla\cdot\mathbf{J}$$

Ahora utilice la ecuación de Maxwell para la divergencia del campo eléctrico

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi \rho$$

Inserta esto en lo anterior para obtener

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \frac{4 \pi}{c} \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}\right)$$

Esperamos que la carga eléctrica se conserve. Esto significa que el flujo de la corriente de carga que sale de alguna región debe ser compensado por una pérdida de densidad de carga allí.

$$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

Introduciendo esto en nuestra expresión anterior se obtiene

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \frac{4 \pi}{c} \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} -\frac{\partial \rho}{\partial t}\right) = 0$$

Esto significa que si los campos electromagnéticos obedecen las ecuaciones de Maxwell y si la carga eléctrica se conserva, entonces la divergencia del rizo de cualquier campo magnético debe ser cero. Sin embargo, no estoy seguro de lo intuitivo que es esto, y además el campo magnético no puede ser elegido arbitrariamente porque debe ser divergente.

Podríamos repetir el procedimiento para la ecuación de Maxwell para el rizo del campo eléctrico. Allí obtendríamos

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf{B}\right) = 0$$

porque el campo magnético no es divergente. Así que la ausencia de carga magnética implica que la divergencia del rizo de todos los campos eléctricos es cero. Los campos eléctricos, a diferencia de los campos magnéticos, pueden ser esencialmente arbitrarios, por lo que sé, y por lo tanto, visto de cierta manera, las ecuaciones de Maxwell implican la identidad vectorial buscada.

Answer 3

He aquí una explicación que me dieron cuando aún estaba en el instituto (¡pero no en la escuela, por supuesto!). En aquel momento no la entendí del todo, pero puede ser esclarecedora si estás dispuesto a aceptar la teorema de Stokes generalizado . Esencialmente, es la afirmación de que $$\int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega$$ donde $\omega$ es un diferencial $(n - 1)$ -forma, $d\omega$ es su derivada exterior, $M$ es un $n$ -Una variedad lisa con límites, y $\partial M$ su límite. (Hay algunas condiciones técnicas que estoy pasando por alto.) Sin embargo, probablemente debería explicar qué son estas cosas:

• A suave $n$ -con límite es un $n$ -objeto geométrico liso en el que cada punto interior tiene una vecindad que se parece a un trozo de nuestra familiar Euclidiana $n$ -espacio $\mathbb{R}^n$ y cada punto límite tiene una vecindad que se parece a un trozo de $\mathbb{R}^{n-1} \times [0, \infty)$ , que es sólo $\mathbb{R}^n$ cortada por la mitad. Por ejemplo, el intervalo $[0, 1]$ es un manifold liso de un solo lado con límite, y su límite es el conjunto $\{ 0, 1 \}$ ; y el disco unitario cerrado es un 2manifold con límite el círculo unitario.
• Obsérvese que el círculo unitario es un manípulo sin límite; esto es un ejemplo del hecho general de que el límite de un liso $n$ -con límite es un maniquí liso $(n-1)$ -manifold sin límite.
• A diferencial $n$ -forma es esencialmente lo que se integra cuando se hace un $n$ -doble integral. Por ejemplo, en $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) \, dx$ se está integrando la forma diferencial 1 $\exp(-x^2) \, dx$ sobre el manificio 1 $\mathbb{R}$ y en $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r \, dr \, d\theta$ se está integrando la forma diferencial 2 $r \, dr \wedge d\theta$ sobre el disco de la unidad cerrada.
• El derivado exterior de un diferencial $(n-1)$ -forma es un diferencial $n$ -forma. Es al mismo tiempo una generalización de los operadores de gradiente, rizo y divergencia. (Más adelante se hablará de ello).

Ahora, supongo que debo explicar qué tiene que ver esto con div, grad y curl. Vamos a empezar con una función $f$ de 3 variables reales $(x, y, z)$ . Se puede considerar como una forma diferencial 0, por lo que tiene una derivada exterior $df$ . Esto es esencialmente lo mismo que $\nabla f$ En efecto, podemos ampliar $df$ utilizando la regla de la cadena para obtener $$df = \frac{\partial f}{\partial x} \, dx + \frac{\partial f}{\partial y} \, dy + \frac{\partial f}{\partial z} \, dz$$ que, obviando ciertas sutilezas, es lo mismo que $\nabla f$ ampliado en la base estándar. Supongamos que, en lugar de eso, te doy una 1 forma diferencial $F = a \, dx + b \, dy + c \, dz$ . Su derivada exterior es $$dF = \left( \frac{\partial c}{\partial y} - \frac{\partial b}{\partial z} \right) \, dy \wedge dz + \left( \frac{\partial a}{\partial z} - \frac{\partial c}{\partial x} \right) \, dz \wedge dx + \left( \frac{\partial b}{\partial x} - \frac{\partial a}{\partial y} \right) \, dx \wedge dy$$ que, con un poco de vista gorda, se ve que es más o menos el rizo $\nabla \times F$ . (Esto es básicamente la regla de la cadena de nuevo, pero puede que te preguntes por qué no hay 9 términos en la derivada exterior y de dónde vienen todos los negativos. Esto es porque para cualquier forma diferencial 1 $\alpha$ , $\alpha \wedge \alpha = 0$ . Aplicando esto a $(dx + dy) \wedge (dx + dy)$ vemos que $dx \wedge dy = -dy \wedge dx$ - es decir, el producto de la cuña $\wedge$ de las 1-formas diferenciales es anticomutativo, al igual que el producto cruzado de dos vectores). Por último, supongamos que tengo una 2-forma diferencial $A = a \, dy \wedge dz + b \, dz \wedge dx + c \, dx \wedge dy$ . Su derivada exterior es $$dA = \left( \frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial b}{\partial y} + \frac{\partial c}{\partial z} \right) \, dx \wedge dy \wedge dz$$ que está obviamente relacionado con la divergencia $\nabla \cdot A$ .

El teorema de Stokes generalizado es una amplia generalización del teorema fundamental del cálculo, el teorema de Kelvin-Stokes y el teorema de la divergencia. De hecho, todos ellos son casos especiales: de nuevo, trabajando en un espacio euclidiano de tres dimensiones, obtenemos

1. Cuando $\omega$ es una forma 0, el teorema fundamental del cálculo: $$\displaystyle \int_{P}^{Q} \nabla f \cdot d\vec{x} = f(Q) - f(P)$$
2. Cuando $\omega$ es una forma 1, el teorema de Kelvin-Stokes: $$\displaystyle \int_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{x}$$
3. Cuando $\omega$ es una 2 forma, el teorema de la divergencia: $$\displaystyle \int_V \nabla \cdot \vec{A} \, dV = \int_{\partial V} \vec{A} \cdot d\vec{S}$$

Por supuesto, al igual que con div, grad y curl, con sólo manipular las definiciones, se puede demostrar que para cualquier diferencial $n$ -forma $\omega$ la derivada exterior de la derivada exterior es $d^2 \omega = 0$ . Pero esto no explica por qué debe y creo que la mejor explicación es el teorema de Stokes generalizado: $$\int_M d^2 \omega = \int_{\partial M} d\omega = \int_{\partial^2 M} \omega$$ Esto demuestra que el hecho de que $d^2 \omega = 0$ está íntimamente ligada al hecho de que $\partial^2 M = \emptyset$ es decir, que la propia frontera de una variedad lisa no tiene frontera. Trasladando esto a la notación clásica, tenemos inmediatamente las identidades $$\nabla \times (\nabla f) = 0$$ $$\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$$ como se prometió.

Answer 4

El rizo de un campo vectorial $F$ en un punto de una superficie infinitesimal $S$ se puede pensar en cómo el campo vectorial "gira" $S$ . La divergencia, por otro lado, describe cuánto "atraviesa" el campo vectorial $S$ . Si se toma el un campo vectorial que hace girar una superficie, ¿cuánto pasa por la superficie? Ninguna.

Por supuesto, esto es un altamente explicación no técnica.

Answer 5

Piensa en la superficie del agua, y en un campo vectorial bidimensional $\mathbf{F}(x,y)$ que da su velocidad en todas partes. Piensa que pones una aguja que flota en algún lugar de su superficie. Si la aguja está girando, entonces se encuentra en una región de rizo no zer, y si la aguja ( EDITAR (un montón de ellas) parece traducirse hacia dentro o hacia fuera hacia o desde algún punto, entonces es una región de divergencia no nula. La divergencia finita sólo significa que hay como una manguera en algún lugar que está aspirando o expulsando fluido radialmente. Así es como se puede pensar en la divergencia y el rizo individualmente.

Para tu pregunta, piensa en una región mixta con divergencia no nula y rizo no nulo. La dirección del rizo sería a lo largo del eje de rotación y, por tanto, perpendicular a la superficie.

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}(x,y) = g(x,y) \hat{z}$$

$$\nabla \cdot \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}(x,y) = \frac{\partial g(x,y) }{\partial z} = 0$$

O intuitivamente, el rizo es perpendicular a la divergencia, lo cual es un abuso de notación porque la divergencia es realmente un operador, así que hasta aquí llega la analogía.