En Derivadas Parciales

Question

Estoy teniendo problemas con este concepto matemático, pero no podía señalar dónde, he intentado releer thomas y stewart durante más de 3 veces ya, pero todavía no tenía ni idea. Voy a intentar explicar mi proceso de pensamiento y cualquiera de ustedes por favor señalar mis errores?

dada una función de $f(x,y)=|xy|^{0.5}$, ¿cómo podemos determinar si la derivada parcial se define en un punto, digamos (0,0)? Me he dado cuenta que hay 3 métodos.

método 1:
$$\frac{d}{dx} |xy|^{0.5} =\frac{(x^2*y^2)^{1/4}}{2x}$$
a continuación, en $(0,0)$, que no está definido debido a la división por cero, por lo tanto el P. D no está definido.

method2:
$f(x,0)=0$
$$\frac{df}{dx}(0,0) = \frac{d}{dx}f(x,0)\vert_{y=0} = 0$$ a continuación, en $(0,0)$, $f_x(0,0) = 0$. (P. D se define)

método 3:
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = 0$$
por lo tanto, $f_x(0,0) = 0$ (P. D se define)

Por lo tanto, las diferencias entre estos métodos?? ¿Puedo aplicar los métodos correctamente? Si es así, ¿por qué he de contradecir las soluciones?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Los métodos 2 y 3 son correctas. La derivada parcial de $f$ con respecto al $x$ en un punto dado, $(x_0,y_0)$ implica la función de $g:x\mapsto f(x,y_0)$ y sólo esta función (y por otra parte, sólo los valores de $g$ en un barrio de $x_0$). Los valores de $f$ $(x,y)$ $y\ne y_0$ simplemente no son relevantes (ni sus valores en $(x,y)$ $y=y_0$ $|x-x_0|\ge\varepsilon$ para cualquier positivos $\varepsilon$).

Como se ha señalado por @Srivatsan Narayanan en un comentario, el método 3 es esencialmente el mismo que el método 2. Para ver por qué, desenrollar la definición de la derivada de la función de variable $x\mapsto f(x,0)$.