deje $|x|<1,|y|>1$, muestran que $$1+\sum_{n=1}^{\infty}\left((1+x^n)\left(\dfrac{(1-y)(1-yx)(1-yx^2)\cdots(1-yx^{n-1})}{(y-x)(y-x^2)(y-x^3)\cdots(y-x^n)}\right)\right)=0$$
por esta suma,yo no puedo.este problema es de un libro,y El autor no dar una prueba. Me enamoré de este reslut es extraño,tal vez esta condición me puede ayudar a resolver este problema? Gracias
Vamos a empezar mostrando el siguiente igualdad (en la parte izquierda de la que es en realidad la suma original en disfraz): $$1+\sum_{n=1}^m \left((1+x^n)\prod_{k=1}^n \frac{1-yx^{k-1}}{y-x^k}\right) = \prod_{k=1}^m \frac{1-yx^k}{y-x^k}$$
La prueba por inducción es muy simple: el caso Base ($m=0$) es trivial. Para el inductivo, es suficiente para mostrar lo siguiente:
$$ \prod_{k=1}^{m+1} \frac{1-yx^k}{y-x^k} - \prod_{k=1}^m \frac{1-yx^k}{y-x^k} = (1+x^{m+1})\prod_{k=1}^{m+1} \frac{1-yx^{k-1}}{y-x^k}$$
Deshacerse de los denominadores, nos da: $$ \prod_{k=1}^{m+1} (1-yx^k) - (y-x^{m+1})\prod_{k=1}^m (1-yx^k) = (1+x^{m+1})\prod_{k=1}^{m+1} (1-yx^{k-1})$$
La mayoría de los factores en el producto cancelar demasiado (factores de la forma $(1-yx^k)$ $1\leq k\leq m$ aparecen en todos los productos): $$(1-yx^{m+1}) - (y-x^{m+1}) = (1+x^{m+1})(1-y)$$
Desde el lado izquierdo y el lado derecho son iguales, hemos terminado con la prueba de la igualdad.
Ahora que sabemos que la suma es en realidad igual a un producto, vamos a estimar las condiciones en el producto! Desde $|x|<1$, el valor de $yx^k$ disminuye (en valor absoluto), por lo que el numerador $(1-yx^k)$ converge a $1$. Del mismo modo, el denominador $(y-x^k)$ converge a $y$, por lo que la fracción converge a $\frac{1}{y}$. Pero eso significa que después de cierto punto, todos los términos en el producto, en valor absoluto, estrictamente menor que $\frac{1}{|y|}$. Pero eso significa que su producto va a converger a cero... y la totalidad del producto.
El problema parece mucho más difícil de lo que es: de hecho, es susceptible a la mayoría de los básicos de la técnica de la escritura de algunas de las sumas parciales, adivinando su forma general, a continuación, la prueba por inducción.
Hacer esto primero.
Por último, tenemos que demostrar que la expresión resultante $\to0$ con la hipótesis. Interpretar las sumas parciales como productos parciales, y mostrar el $n$th factor en el infinito producto es asintótica a $[?]$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
